Родился 27 декабря 1934 г. в Белгороде в семье оседлых цыган Алексея Архиповича и Ольги Алексеевны Сличенко. Раннее детство провел с родителями в Харькове (Украинская ССР, ныне Украина). Его отец был убит немцами в 1942 г. С 1943 г. Николай Сличенко проживал у родственников в цыганском колхозе "Лоло Октябрь" (Воронежская обл.), работал помощником кузнеца. В подростковом возрасте выступал в концертах для полеводческих бригад, пел и танцевал.
В 1951 г. Николай Сличенко был принят артистом вспомогательного состава в Московский театр "Ромэн" (ныне Московский музыкально-драматический цыганский театр "Ромэн"). Вскоре стал исполнять главные роли. Был задействован в постановках: "Четыре жениха", "Грушенька", "Сломанный кнут", "Дочь шатров", "Родился я в таборе", "Горячая кровь", "Ром Баро", "Ты - герой, я - герой", "Верность", "Любовь и смерть" и др. В общей сложности исполнил на сцене театра около 70 ролей.
В 1972 г. окончил в Москве Высшие режиссерские курсы при Государственном институте театрального искусства им. А. В. Луначарского (ныне Российский институт театрального искусства - ГИТИС). Учился под руководством народного артиста СССР Андрея Гончарова.
С 1977 г. по 2021 г. - главный режиссер, художественный руководитель Московского музыкально-драматического цыганского театра "Ромэн". Поставил спектакли: "Непоклонов" по пьесе Николая Мирошниченко, "Огненные кони" и "Птицам нужно небо" по произведениям Ивана Ром-Лебедева, "Братья" по пьесе Зота Тоболкина, "Графиня-цыганка" по комедии Петра Градова, "Живой труп" по произведению Льва Толстого и др. В 1978 г. на базе Государственного музыкального училища им. Гнесиных (ныне Музыкальное училище им. Гнесиных Российской академии музыки им. Гнесиных) создал студию подготовки актеров для "Ромэна". В 2005 г. открыл при Театральном институте им. Бориса Щукина цыганский национальный курс, стал его художественным руководителем.
Николай Сличенко был широко известен как исполнитель цыганских песен ("Малярка", "Ай, да зазнобила", "Две гитары", "Снова слышу голос твой"), романсов на стихи Александра Пушкина ("Не спрашивай"), Федора Тютчева ("Я встретил вас"), Сергея Есенина ("Письмо к матери", "Отговорила роща золотая", "Клен ты мой опавший"), эстрадных песен на музыку Никиты Богословского, Константина Листова, Давида Тухманова и др.
Исполнял роли в фильмах "В дождь и в солнце" (1960, режиссер Герберт Раппапорт), "Свадьба в Малиновке" (1967, Андрей Тутышкин) и др. В качестве режиссера поставил фильмы-спектакли "Мой остров синий…" (1972, вместе с Леонидом Пекуром) и "Мы - цыгане" (1986, вместе с Николаем Субботиным).
Николай Сличенко скончался 2 июля 2021 г. в Москве на 87-м году жизни. Похоронен на Троекуровском кладбище.
Народный артист СССР (1981).
Был награжден орденами Дружбы народов (1984), Почета (2009), Дружбы (2014), "За заслуги перед Отечеством" II, III и IV степеней (2020, 2004, 1994). Отмечен благодарностью президента РФ (2001).
Лауреат Государственной премии СССР в области литературы, искусства и архитектуры за 1987 г., премии правительства РФ в области культуры 2013 г.
Автор книги "Родился я в таборе" (1980).
Николай Сличенко был дважды женат. Первая супруга - Сетара Казымова (род. 1931). Сын - Алексей. Второй женой была народная артистка РСФСР Тамилла Агамирова (1928-2021). Дочь - Тамилла, сыновья - Петр и Алексей.