Родился 20 июля 1974 г. в г. Ростове-на-Дону (Ростовская область). Его отец, Борис Николаевич Слюсарь (1942-2015), был гендиректором и председателем совета директоров (2000-2014, 2014-2015) ОАО "Роствертол" (с 2016 г. - Ростовский вертолетный производственный комплекс "ПАО "Роствертол" им. Б. Н. Слюсаря", Ростов-на-Дону).
В 1996 г. Юрий Слюсарь окончил юридический факультет Московского государственного университета (МГУ) им. М. В. Ломоносова с присвоением квалификации "юрист", в 2003 г. - аспирантуру Академии народного хозяйства при правительстве РФ (ныне Российская академия народного хозяйства и государственной службы при президенте РФ).
Кандидат экономических наук. В 2007 г. в Южном федеральном университете защитил диссертацию на тему "Кибернетический подход к организации управления в корпоративных системах".
В 1996-1999 гг. - генеральный директор ООО "Фирма "ЮБС" (Москва).
С 1999 по 2003 г. был директором, генеральным директором ООО "Монолит-АВК" (Москва).
В 2003-2009 гг. - коммерческий директор ОАО "Роствертол". Одновременно с 2005 по 2007 г. руководил комитетом вертолетных программ ОАО "Объединенная промышленная корпорация "Оборонпром".
В 2009-2010 гг. - помощник министра промышленности и торговли РФ Виктора Христенко.
С октября 2010 г. по май 2012 г. - директор департамента авиационной промышленности Минпромторга России.
С мая 2012 г. по январь 2015 г. занимал должность заместителя министра промышленности и торговли РФ Дениса Мантурова.
С 2015 г. возглавлял ПАО "Объединенная авиастроительная корпорация" (ОАК, с 2018 г. входит в состав госкорпорации "Ростех"). В 2015-2019 гг. - президент компании, с 2019 по 2024 г. - генеральный директор.
Параллельно в 2017-2019 гг. являлся президентом научно-производственной корпорации "Иркут" (с 2023 г. - ПАО "Яковлев"), действующей в структуре ОАК.
В 2020-2022 гг. - гендиректор ПАО "Компания "Сухой" (совмещал руководство ОАК и дочерней компанией "Сухой" до завершения процесса их объединения).
4 ноября 2024 г. указом президента РФ Владимира Путина Юрий Слюсарь был назначен врио губернатора Ростовской области (во главе региона сменил Василия Голубева).
14 сентября 2025 г. в ходе прямых выборов был избран губернатором Ростовской области (баллотировался от "Единой России"). За него проголосовали 81,25% избирателей (второе место занял депутат Госдумы Евгений Бессонов от КПРФ, 9,17%). 19 сентября того же года Юрий Слюсарь официально вступил в должность.
Входит в состав Государственного совета РФ.
Член партии "Единая Россия" (с марта 2025 г.), высшего совета партии (с декабря 2017 г.).
Был вице-президентом общероссийской общественной организации "Союз машиностроителей России".
Действительный государственный советник РФ II класса.
Награжден орденами "За заслуги перед Отечеством" IV степени, Почета (2019), медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени (2015). Имеет Почетную грамоту президента РФ (2017).
Почетный авиастроитель (2011).