Родился 8 августа 1949 г. в Ленинграде (ныне Санкт-Петербург). Воспитывался дедом, русским писателем Иваном Сергеевичем Соколовым-Микитовым (1892-1975).
В 1967 г. Александр Соколов окончил музыкальную школу имени Гнесиных в Москве (ныне Московская средняя специальная музыкальная школа (колледж) имени Гнесиных) по специализации "скрипка-альт", в 1968 г. - экстерном теоретическое отделение музыкального училища при Московской государственной консерватории им. П. И. Чайковского. Высшее образование получил в 1973 г., окончив с отличием теоретико-композиторский факультет МГК. В 1974-1979 гг. - аспирант Московской консерватории по специальности "музыкальное искусство".
Доктор искусствоведения. В 1980 г. защитил кандидатскую диссертацию на тему "О роли звукового материала в системе музыкальных средств", в 1992 г. - докторскую диссертацию на тему "Музыкальная композиция ХХ века: диалектика творчества". Профессор (1993).
В 1972-1979 гг. преподавал музыкально-теоретические дисциплины в музыкальном училище им. Гнесиных (ныне действует в составе Российской академии музыки им. Гнесиных, Москва).
В 1979-1983 гг. - преподаватель, в 1988-1992 гг. - доцент кафедры теории музыки Московской государственной консерватории им. П. И. Чайковского. В 1983-1988 гг. был секретарем партийного бюро вуза. С 1992 по 2001 г. - проректор по научной работе МГК. С 1996 г. по н. в. заведует кафедрой теории музыки.
В 2000-2001 гг. - и. о. ректора, в 2001-2004 гг. - ректор Московской консерватории.
С 9 марта 2004 г. по 12 мая 2008 г. Александр Соколов занимал пост министра культуры и массовых коммуникаций РФ в правительстве Михаила Фрадкова (с сентября 2007 г. - в кабинете министров Виктора Зубкова). Сменил Михаила Швыдкого, который возглавлял Минкультуры России в 2000-2004 гг. Министр Соколов выступал против реституции (возврата) культурных ценностей Германии и ее бывшим союзникам в годы Второй мировой войны.
2 декабря 2007 г. во главе московского регионального списка от партии "Справедливая Россия" был избран в Государственную думу РФ V созыва, но от депутатского мандата отказался.
В 2009 г. Александр Соколов вернулся в Московскую государственную консерваторию им. П. И. Чайковского. С 5 февраля исполнял обязанности ректора, а 2 июня 2009 г. был избран ректором этого вуза. С августа 2019 г. является и. о. ректора МГК.
По его инициативе в МГК им. П. И. Чайковского были введены новые программы обучения для аспирантов оркестрового, дирижерско-хорового факультетов, ориентированные на проблематику современной музыки, созданы новые творческие коллективы (в т. ч. Камерный хор Московской консерватории).
Является председателем Совета ректоров консерваторий РФ (с 2008 г.) и Совета ректоров консерваторий государств - участников СНГ (с 2010 г.), Общества теории музыки (с 2011 г.), Московского музыкального общества (с 2013 г.).
Президент Международного союза музыкальных деятелей (с 2015 г.). Член Союза композиторов России.
Лауреат Государственной премии РФ в области литературы и искусства 2003 года (за музыкально-просветительскую программу "Академия музыки - новое передвижничество").
Награжден орденами Почета (2012), Александра Невского (2020). Имеет Почетные грамоты председателя правительства РФ (2006) и президента РФ (2009).
Иностранные награды: орден "Средний крест " (Венгрия, 2006), орден Восходящего солнца (Япония, 2016) и др.
Обладатель международной общественной премии "Почетный меценат и благотворитель мира" (2005), международной общественной премии Андрея Первозванного "За веру и верность" (2011), премии Союза журналистов России "Солидарность" (2021).
Заслуженный деятель искусств РФ (1999).
Почетный член Российской академии художеств (2012). Член ряда международных академий, почетный доктор и профессор многих университетов и академий Европы и Азии.
Автор свыше 60 научных работ по теории музыки (книг, статей, учебных пособий). Среди них монографии "Музыкальная композиция ХХ века: диалектика творчества" (1992), "Музыка вокруг нас" (1996), "Введение в музыкальную композицию ХХ века" (2004), "Музыка в зеркале времен" (2008).