Родился 13 февраля 1920 г. в Петрограде (ныне - Санкт-Петербург).
В 1941 г. окончил в Москве операторский факультет Всесоюзного государственного института кинематографии (ныне - Всероссийский государственный институт кинематографии им. С. А. Герасимова). В том же году проходил практику на Центральной студии кинохроники (c 1944 г. - Центральная студия документальных фильмов, ЦСДФ).
В сентябре 1941 г. Борис Соколов вместе с сотрудниками ЦСДФ был эвакуирован в Казахскую ССР (ныне - Республика Казахстан), где продолжил работу на Алма-Атинской студии кинохроникально-документальных фильмов (ныне - киностудия "Казахфильм" им. Ш. Айманова). В течение трех лет занимался съемками тыловой кинохроники.
В сентябре 1944 г. Борис Соколов вернулся в Москву на Центральную студию кинохроники, где стал кинооператором цеха фронтовых групп. В октябре того же года был направлен во фронтовую киногруппу 1-го Белорусского фронта. Снимал на камеру ход Висло-Одерской, Восточно-Померанской и Берлинской наступательных операций, а также наступательной операции по ликвидации Кюстринского выступа.
В качестве одного из операторов принимал участие в киносъемке подписания Акта о безоговорочной капитуляции Германии (9 мая 1945 г.) и Парада Победы в Москве (24 июня 1945 г.).
С августа по ноябрь 1945 г. Борис Соколов входил в состав киногруппы Забайкальского фронта. В частности, вел киносъемку хода боевых действий при разгроме японских войск на Дальнем Востоке.
Отснятые им материалы фронтовой кинохроники вошли в документальные фильмы "Знамя победы над Берлином водружено", "Берлин", "Разгром Японии" и др. Кадры с гильотиной в гестаповской камере пыток, сделанные Борисом Соколовым, в 1962 г. включил в свой фильм "Иваново детство" режиссер Андрей Тарковский.
С декабря 1945 г. по апрель 1949 г. Борис Соколов был оператором на Центральной студии документальных фильмов.
В 1949-1955 гг. работал на Литовской студии художественных и хроникально-документальных фильмов (Вильнюс), с 1955 по 1958 г. - на киностудии "Мосфильм".
В 1958-1981 гг. Борис Соколов работал оператором и режиссером на Центральном телевидении Гостелерадио СССР. В течение этих лет он проводил киносъемку съездов КПСС, зарубежных поездок советских правительственных делегаций, сюжетов об иностранных городах и др. С 1970 по 1980 г. Борис Соколов также занимал должность художественного руководителя отдела "Хроника" творческого объединения "Экран".
Борис Соколов скончался 16 января 2019 г. в Москве на 99-м году жизни. Похоронен на столичном Ваганьковском кладбище.
Являлся почетным членом гильдии кинооператоров Союза кинематографистов России.
Заслуженный деятель искусств РСФСР (1980).
Был награжден орденами Красной Звезды (1945) и Отечественной войны II степени (1985), медалями "За оборону Москвы" (1944), "За взятие Берлина", "За освобождение Варшавы", "За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941-1945 гг.", "За победу над Японией" (все - 1945).
Лауреат Сталинской премии II степени (1948, за фильм "Советская Латвия").
Был женат на Ольге Васильевне Соколовой (работала врачом).