Родился 3 ноября 1945 г. родился 3 ноября 1945 года в г. Москве в семье инженера.
В 1969 г. окончил Московский авиационный институт им. Серго Орджоникидзе (ныне Московский авиационный институт - национальный исследовательский университет) по специальности "Плазменные и нейронные двигатели".
Доктор технических наук (1988), профессор (1994). С 2006 г. - действительный член Российской академии наук (РАН, отделение энергетики, машиностроения, механики и процессов управления), член Президиума РАН (с 2017 г.).
В 1969-1971 гг. служил в Ракетных войсках стратегического назначения (РВСН) в 28-й гвардейской ракетной дивизии (г. Козельск, Калужская обл.). Вышел в запас в звании лейтенанта.
С 1971 г. работает в Московском институте теплотехники (МИТ; с 2010 г. - ОАО "Корпорация "Московский институт теплотехники"). Последовательно занимал должности инженера, старшего и ведущего инженера, начальника отдела, начальника сектора, и. о. начальника отделения. С 1991 г. - заместитель, с 1995 г. - первый заместитель генерального конструктора предприятия (с 1987 г. этот пост занимал Борис Лагутин).
Юрий Соломонов участвовал в создании подвижных ракетных комплексов с твердотопливными управляемыми баллистическими ракетами средней дальности "Темп-2С" (состояли на вооружении в 1975-1985 гг.), "Пионер" (на вооружении в 1976-1991 гг.), межконтинентальной баллистической ракеты (МБР) "Тополь" (на вооружении с 1988 г.). Также был привлечен к разработке космических ракет типа "Старт", созданных на базе МБР "Тополь" (в 1996-2006 гг. с космодрома "Свободный" было осуществлено пять запусков ракеты-носителя легкого класса "Старт-1.2").
В 1997 г. Юрий Соломонов возглавил МИТ, став директором и генеральным конструктором предприятия. Сменил на этом посту Бориса Лагутина.
Под руководством Юрия Соломонова были завершены работы по межконтинентальной баллистической ракете "Тополь-М". В 2000 г. ракетный комплекс на ее основе принят на вооружение ВС РФ.
В 1998 г. руководство Военно-морского флота (ВМФ) России приняло решение о разработке новой МБР морского базирования Р-30 "Булава". Работы по ее созданию поручили Московскому институту теплотехники.
В июле 2009 г. после серии неудачных пусков "Булавы" Юрий Соломонов подал в отставку с поста директора МИТ.
С 2009 г. по 2010 г. занимал должность генерального конструктора предприятия. После реорганизации МИТ в корпорацию в сентябре 2010 г. был назначен генеральным конструктором по наземным ракетным комплексам "Тополь-М" и "Ярс".
В настоящее время является генеральным конструктором и первым заместителем генерального директора АО "Корпорация "Московский институт теплотехники" Сергея Пономарева.
В 2001-2004 гг. возглавлял кафедру "Космические аппараты и ракеты-носители" Московского государственного технического университета (МГТУ) им. Н. Э. Баумана. По состоянию на 2020 г. заведует в этом вузе кафедрой "Защита информации".
Председатель Научного совета РАН по механике конструкций из композиционных материалов (с 2003 г.). Член редколлегий журнала РАН "Механика композиционных материалов и конструкций", общероссийского научно-технического журнала "Полет". Председатель редколлегии научно-технического сборника "Труды МИТ".
Герой Труда РФ (2015, "за особые трудовые заслуги перед государством и народом"). Лауреат Государственной премии СССР (1981). Награжден орденом Трудового Красного Знамени (1990), орденом "За заслуги перед Отечеством" III степени (2020), медалью "За воинскую доблесть" (1970). Отмечен благодарностью президента РФ (2005).
Заслуженный изобретатель РСФСР (1987).
Лауреат премии РАН им. Ф. А. Цандера (2014; за книгу "Твердотопливные регулируемые двигательные установки").
Автор более 300 научных и публицистических трудов, около 200 изобретений, девяти монографий, шести учебных пособий, а также трех поэтических сборников.
Женат. Супруга - Ирина Александровна. Сын - Михаил (был генеральным менеджером дочернего предприятия МИТ, ОАО "ММД", занимавшегося проектом создания московского монорельса). Дочь - Марианна.