Родился 30 августа 1934 г. в г. Богородске (Горьковская область, ныне - Нижегородская область) в семье Алексея Федоровича Солоницына и Нины Кузьминичны Ивакиной. Отец был редактором районной газеты "Ленинская победа", мать работала диктором на местном радио. При рождении получил имя Отто в честь советского ученого, исследователя Арктики Отто Шмидта.
В 1938-1941 гг. проживал с семьей в г. Горьком (ныне - Нижний Новгород), в 1941-1949 гг. - в Саратове. Там же окончил школу-семилетку.
В 1949 г. поступил в Саратове в строительный техникум. Тогда же начал использовать имя Анатолий (в документах оставил имя Отто). После окончания техникума в 1951 г. работал слесарем на Саратовском весоремонтном заводе.
В 1952 г. вместе с семьей переехал в г. Фрунзе (Киргизская ССР, ныне - г. Бишкек, Киргизская Республика). Там же окончил 10-й класс средней школы.
В 1954-1957 гг. Анатолий Солоницын работал геологом и слесарем-инструментальщиком. Также был инструктором Октябрьского района комсомола г. Фрунзе. В 1955-1957 гг. трижды пытался поступить в Москве в Государственный институт театрального искусства им. А. В. Луначарского (ныне - Российский институт театрального искусства - ГИТИС), но принят не был.
В 1960 г. Анатолий Солоницын окончил студию при Свердловском государственном театре драмы, в 1960-1966 гг. служил в этом театре. Исполнял роли в постановках "Униженные и оскорбленные" по произведению Федора Достоевского, "Иркутская история" по пьесе Алексея Арбузова и др.
В 1966-1967 гг. был актером Государственного русского драматического театра Белорусской ССР им. М. Горького (г. Минск; ныне - Национальный академический драматический театр им. М. Горького, Республика Белоруссия).
В 1968-1970 гг. - играл в Новосибирском театре драмы "Красный факел". Был задействован в спектаклях "Бег" по пьесе Михаила Булгакова, "Борис Годунов" по трагедии Александра Пушкина, "Варвары" по пьесе Максима Горького, "Герой фатерланда" по произведению Леона Кручковского.
В 1970-1971 гг. служил в Государственном русском драматическом театре Эстонской ССР (Таллин, ныне - Русский театр Эстонии).
В 1972-1976 гг. Анатолий Солоницын был актером Ленинградского театра имени Ленсовета (ныне - Санкт-Петербургский академический театр имени Ленсовета). Играл в постановках "Варшавская мелодия" по пьесе Леонида Зорина и "Преступление и наказание" по роману Федора Достоевского.
В 1977 г. в Московском театре имени Ленинского комсомола (ныне - Московский государственный театр "Ленком") исполнил роль Гамлета в одноименном спектакле по трагедии Уильяма Шекспира.
Анатолий Солоницын был широко известен в качестве киноактера. Дебютной для него стала роль немецкого солдата в короткометражном фильме Глеба Панфилова "Дело Курта Клаузевица" (1963). Исполненная в 1966 г. роль Андрея Рублева в одноименной драме Андрея Тарковского принесла актеру популярность. Впоследствии Солоницын сыграл роли во всех фильмах Тарковского, снятых до эмиграции режиссера в 1982 г. Ими стали Сарториус в фантастической драме "Солярис" по роману Станислава Лема (1972), судебный врач в кинопритче "Зеркало" (1974), писатель в фильме "Сталкер" по мотивам фантастической повести Аркадия и Бориса Стругацких "Пикник на обочине" (1979). Среди других киноработ - комиссар Иван Евстрюков в драме "В огне брода нет" (1967, режиссер Глеб Панфилов), майор Игорь Петушков в военном фильме "Проверка на дорогах" по мотивам произведений Юрия Германа (1971, премьера - 1986, Алексей Герман), председатель губисполкома Василий Сарычев в фильме "Свой среди чужих, чужой среди своих" (1974, Никита Михалков), писатель Федор Достоевский в биографической кинокартине "Двадцать шесть дней из жизни Достоевского" (1980, Александр Зархи). В общей сложности Анатолий Солоницын снялся в более чем 40 фильмах.
Анатолий Солоницын скончался 11 июня 1982 г. в Москве на 48-м году жизни. Причиной смерти стало онкологическое заболевание. Похоронен на столичном Ваганьковском кладбище.
Заслуженный артист РСФСР (1981).
В 1981 г. получил приз "Серебряный медведь" Берлинского кинофестиваля за лучшую мужскую роль (в фильме "Двадцать шесть дней из жизни Достоевского").
Был трижды женат. Первая супруга - Лариса Успенская. Второй женой была Лариса Сысоева. От брака с ней - дочь Лариса Солоницына (род. 1968, киновед, директор Государственного центрального музея кино). Третья супруга - Светлана. От этого брака - сын Алексей (род. 1978).