Родился 2 августа 1926 г. в гор. Богородске Московской губернии РСФСР (ныне Ногинск Московской обл. РФ) в семье служащего.
В 1941 г. поступил в 1-ю московскую спецшколу Военно-морского флота (ВМФ) СССР, по завершении которой учился в Бакинском Военно-морском подготовительном училище (Азербайджанская ССР, ныне Азербайджан).
В 1949 г. получил диплом инженера-механика, окончив паросиловой факультет Высшего военно-морского инженерного ордена Ленина училища имени Ф. Э. Дзержинского (ныне ФГОУ "Военный институт (Военно-морской политехнический) Военно-морской академии им Н. Г. Кузнецова", г. Пушкин, Санкт-Петербург).
Доктор технических наук (1978). Действительный член Академии наук СССР (1987, после распада СССР - академик Российской академии наук, РАН).
После окончания училища в 1949 г. начал службу на ВМФ СССР, с октября того же года участвовал в достройке легкого артиллерийского крейсера "Фрунзе" проекта 68 для Черноморского флота.
В 1950 г. по решению ЦК КПСС и Совета министров СССР был откомандирован в судостроительную промышленность с оставлением в кадрах ВМФ (в 1955 г. уволен в запас по сокращению Вооруженных сил СССР в звании старшего лейтенанта-инженера). Начал работу по созданию новых подводных лодок в ленинградском Специализированном конструкторском бюро №143 (СКБ-143, ныне Санкт-Петербургское морское бюро машиностроения "Малахит" имени академика Н. Н. Исанина), участвовал в создании опытной субмарины с парогазовой турбинной установкой.
В 1953 г. перешел в Центральное конструкторское бюро №18 (ЦКБ-18, ныне Центральное конструкторское бюро морской техники "Рубин", Санкт-Петербург), где занимал должности инженера-конструктора (1953-1954), начальника сектора (1954-1956), заместителя главного конструктора атомных подводных лодок (1956-1968), главного инженера (1968-1974).
В 1974 г. стал генеральным конструктором КБ (которое к тому моменту носило название Ленинградское проектно-монтажное бюро "Рубин"). С 1983 г. и до 2007 г. занимал должность генерального конструктора.
В 2000-х и 2010-х гг. работал генеральным конструктором по специальной тематике, затем научным руководителем работ по спецтематике ФГУП "ЦКБ МТ "Рубин" (2007-2008, 2010-2013); председателем совета, позднее - членом совета директоров ЗАО "Рубин" (2003-2008, 2011-2013), которое занималось коммерческим развитием принадлежавшей ФГУП недвижимости. С 2003 г. входил в совет директоров Международного банка Санкт-Петербурга (в 2018 г. банк лишился лицензии).
По проектам, созданным под руководством Игоря Спасского, построены свыше 200 атомных и дизель-электрических подводных лодок, в частности - атомные подводные крейсера стратегического назначения проекта 667БДР "Кальмар" (головная субмарина вошла в состав флота в 1976 г.), пр. 941 "Акула" (1981), пр. 667БДРМ "Дельфин" (1984); атомные подводные ракетные крейсера пр. 949 "Гранит" (1980) и пр. 949А "Антей" (1986); дизель-электрические подводные лодки проектов 877 "Палтус" (1980), 636 (1997), 636М (2004). Во второй половине XX века ЦКБ "Рубин" было ведущим конструкторским бюро СССР, разрабатывавшим проекты атомных подводных лодок с межконтинентальными баллистическими, а также с крылатыми ракетами.
После распада Советского Союза академик участвовал в разработке международного коммерческого проекта "Морской старт" по созданию плавучего морского космодрома на базе переделанной нефтяной платформы. В 2001 г. руководил международным проектом подъема, транспортировки и постановки в док атомного подводного крейсера "Курск", затонувшего 12 августа 2000 г. Под руководством Игоря Спасского ЦКБ "Рубин" начало проектировать платформы для освоения нефтегазовых месторождений на континентальном шельфе, в том числе участвовало в создании первой российской ледостойкой платформы в Арктике - "Приразломной". Помимо этого, ЦКБ участвовало в создании высокоскоростного электропоезда "Сокол-250" для проектировавшейся линии Москва - Санкт-Петербург (проект закрыт в 2002 г.).
Игорь Спасский внес вклад в сохранение культурного наследия Санкт-Петербурга. При участии академика были воссозданы музей-квартира А. С. Пушкина и Литературное кафе Вольфа и Беранже, выполнен капитальный ремонт Николо-Богоявленского Морского собора, проведена реставрация храма Св. Василия Великого в Лодейном поле и церкви Иоанна Предтечи XII в. в Старой Ладоге, создан музей-памятник "Подводная лодка Д-2" и др.
Избирался депутатом и членом Исполнительного комитета Ленинградского городского совета, народным депутатом СССР (1989-1991 гг.).
Преподавал в Ленинградском кораблестроительном институте (ныне Санкт-Петербургский государственный морской технический университет) на кафедре "Общее проектирование".
В разные годы Игорь Спасский входил в Межведомственный научный совет по судостроению РАН, научный совет по волновым процессам РАН, комиссию по предпринимательству и конкурентоспособности при председателе правительства РФ, экспертный совет по проблемам законодательного обеспечения развития оборонно-промышленного комплекса при председателе Совета Федерации ФС РФ, научно-технический совет (НТС) Военно-промышленной комиссии при правительстве РФ, НТС при правительстве Санкт-Петербурга, руководил НТС и диссертационным советом ФГУП "ЦКБ МТ "Рубин".
Старший лейтенант-инженер.
По данным "Российской газеты", в 2018 г. Игорь Спасский был удостоен почетного звания Героя Российской Федерации. Герой Социалистического Труда (1978), кавалер двух орденов Ленина (1970, 1978), ордена Октябрьской Революции (1986), двух орденов Трудового Красного Знамени (в т. ч. 1963), российских орденов "За заслуги перед Отечеством" II степени (2002), Почета (2010). Награжден медалями (в т. ч. "За боевые заслуги", 1955), Почетной грамотой Правительства РФ (2001). Лауреат Ленинской (1965), Государственной премии СССР (1983) и Государственной премии РФ (2007). Награжден золотой медалью им. А. П. Александрова РАН (2013, за основополагающий вклад в развитие атомного флота России).
Почетный гражданин Санкт-Петербурга (2002).
Автор более 100 научных работ по проектированию подводных лодок, ряда статей в российских и зарубежных журналах, книги "Пять красок времени. К 100-летию профессионального проектирования подводных лодок в России" (2001), "Курск". После 12 августа 2000 г." (2003) и др. Был научным руководителем сборника "История отечественного кораблестроения" в пяти томах (1994).