Родился 7 мая 1986 г. в Ленинграде (ныне - Санкт-Петербург). Его отец, Евгений Евгеньевич (род. 1967), - генерал-майор полиции. С 2017 г. занимает пост начальника управления на транспорте МВД России по Северо-Западному федеральному округу.
В 2008 г. Никита Стасишин окончил Санкт-Петербургский торгово-экономический институт (ныне - в составе Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого).
Кандидат экономических наук. В 2010 г. в том же вузе защитил диссертацию на тему "Обеспечение долгосрочной конкурентоспособности розничных торговых бизнес-структур".
В 2007-2009 гг. работал в ООО "Национальная вендинговая компания".
С2009 г. - в администрации Центрального района Санкт-Петербурга. В 2011-2012 гг. являлся сотрудником комитета по развитию транспортной инфраструктуры Санкт-Петербурга.
В 2012 г. был заместителем генерального директора подмосковного ГУП "Московский областной дорожный центр".
С 2013 г. - начальник управления Федерального агентства по строительству и жилищно-коммунальному хозяйству (1 ноября 2013 г. преобразовано в Министерство строительства и жилищно-коммунального хозяйства РФ).
В том же году Никита Стасишин стал заместителем директора департамента жилищной политики Министерства строительства и жилищно-коммунального хозяйства РФ. Был начальником отдела методологии и реализации программ и проектов в сфере жилищной политики.
В 2015-2016 гг. - директор департамента жилищной политики Министерства строительства и ЖКХ.
С 12 ноября 2016 г. - заместитель министра строительства и жилищно-коммунального хозяйства РФ Михаила Меня. Сохранил пост после того, как в 2018 г. министерство возглавил Владимир Якушев. Курировал департамент жилищной политики.
Сумма декларированного дохода за 2018 г. составила 2 млн 219 тыс. руб., супруги - 2 млн 500 тыс руб.
Действительный государственный советник РФ II класса (2021).
Женат, есть дочь.