Родился 15 ноября 1922 г. в гор. Алексине (Тульская губерния РСФСР, ныне Тульская обл. РФ) в бывшей дворянской семье. Был одним из четырех детей Якова Сергеевича Стечкина (1889-1955), хирурга, заслуженного врача РСФСР. Племянник академика АН СССР Бориса Сергеевича Стечкина (1891-1969), конструктора тепловых и авиационных двигателей.
Окончив среднюю школу в 1941 г., Игорь Стечкин поступил на оружейно-пулеметный факультет Тульского механического института (ныне Тульский государственный университет). От службы в армии был освобожден из-за слабого зрения.
После начала Великой Отечественной войны был эвакуирован с семьей в Бузулук (Чкаловская, ныне Оренбургская обл.). В декабре 1941 г. переехал в Ижевск (Удмуртская АССР, ныне Удмуртская Республика), где стал работать шлифовальщиком на мотозаводе. Тогда же поступил на обучение в эвакуированный в Ижевск из Москвы механико-машиностроительный институт им. Н. Э. Баумана (ныне Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана).
В 1942 г. вернулся в Тулу, продолжил обучение в механическом институте. Окончил его в 1948 г., защитив диплом на тему "Самозарядный пистолет калибра 7,65". Консультантом по дипломной работе был инженер-конструктор Николай Макаров, в дальнейшем - выдающийся советский оружейник, Герой Социалистического Труда, кавалер двух орденов Ленина.
После окончания института Игорь Стечкин был распределен в Центральное конструкторское бюро №14 (ЦКБ-14, Тула), которое занималось проектированием стрелкового вооружения. В конце 1940-х - начале 1950-х гг. разработал конструкцию автоматического пистолета калибра 9 мм. 3 декабря 1951 г. под индексом АПС ("автоматический пистолет Стечкина") это оружие было принято на вооружение Советской Армии. АПС вооружались экипажи боевых машин, танков, летчики, а впоследствии - военнослужащие подразделений спецназа (модификация АПБ с глушителем). В 1952 г. за создание АПС конструктор был удостоен Сталинской премии II степени.
В 1950-х гг. работал над оружием для спецслужб, в т. ч. малошумными пистолетами, замаскированными под предметы быта. В частности, сконструированный в 1954 г. пистолет ТКБ-506 калибра 7,62 мм имел вид портсигара.
В начале 1960-х гг. работы по разработке стрелкового вооружения были переданы из ЦКБ-14 в тульское Центральное конструкторско-исследовательское бюро спортивно-охотничьего оружия (ЦКИБ СОО). Игорь Стечкин остался в ЦКБ-14 (с 1966 г. - Конструкторское бюро приборостроения, КБП, ныне АО "Конструкторское бюро приборостроения им. академика А. Г. Шипунова"). Работал над реактивным управляемым вооружением - противотанковыми ракетными комплексами "Фагот" и "Гобой" ("Конкурс").
В 1971 г. перешел в ЦКИБ СОО (ныне филиал КБП) на должность ведущего конструктора. В 1970-х - 1980-х гг. наряду с другими советскими оружейниками участвовал в конкурсах Минобороны СССР на автоматы (программы "Модерн" и "Абакан"), однако в серию тогда пошли разработки конструкторов Михаила Калашникова и Геннадия Никонова. В 1990-х гг. Игорь Стечкин вернулся к работе над короткоствольным оружием. По заказу МВД России совместно с конструктором Борисом Авраамовым разработал револьвер ОЦ-01 "Кобальт" калибра 9 мм (принят на вооружение правоохранительных органов под наименованием РСА). В 1990-х - 2000-х гг. под руководством Стечкина конструкторы ЦКИБ СОО создали самозарядный пистолет ОЦ-27 "Бердыш", автоматические пистолеты ОЦ-23 "Дротик" и ОЦ-33 "Пернач", бесшумный револьвер для спецподразделений ОЦ-38 "Ворчун" (на вооружении подразделений ФСБ России с 2002 г.).
Игорь Стечкин принимал участие в разработке в общей сложности более 60 образцов оружия. Имел свыше 50 авторских свидетельств на изобретения.
Игорь Стечкин скончался 28 ноября 2001 г. в Туле на 80-м году жизни. Похоронен на главной аллее Смоленского (1-го городского) кладбища Тулы.
Был награжден орденом Почета (1997), орденом Трудового Красного Знамени (1971), медалями. Лауреат Сталинской премии СССР II степени (1952).
Заслуженный конструктор Российской Федерации (1992). Лауреат премии им. С. И. Мосина (учреждена администрацией Тульской обл., вручается за существенный вклад в развитие науки и техники военного назначения). Награжден почетным знаком Тулы "За заслуги перед городом" (2001).
В 2008 г. мемориальная доска оружейнику установлена в Туле на доме №86 по ул. Гоголевской, где конструктор жил в 1952-2001 гг. Памятник Игорю Стечкину авторства московского скульптора Николая Прокофьева открыт в 2015 г. парке "Химик" г. Алексина. Имя конструктора присвоено электроподстанции в д. Малёвка Ленинского района Тульской обл. (где также размещена мемориальная доска).