Родился 31 мая 1967 г. в Москве.
В 1991 г. окончил Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана, в 1999 г. - бизнес-школу INSEAD ("Инсеад"; Фонтенбло, Франция).
В 1991-1992 гг. работал менеджером в экспортном центре российско-германского совместного предприятия по производству компьютеров "Аквариус Системс Интеграл". В 1992 г. создал и возглавил дизайнерскую компанию "Дистрайд". В 1994 г. был назначен руководителем подразделения компании "Electrolux" ("Электролюкс") в России.
В 2000 г. стал генеральным директором отделения Philips Consumer Electronics ("Филипс консьюмер электроникс") в России, в 2005-2009 гг. - вице-президент, член совета директоров европейского подразделения компании Philips Consumer Electronics. В 2008-2009 гг. - вице-президент, генеральный директор Philips Consumer LifeStyle ("Филипс консьюмер лайфстайл").
С апреля 2009 г. по 31 декабря 2012 г. занимал пост генерального директора российского сотового оператора Tele2 ("Теле2"), с июля 2009 г. также являлся исполнительным вице-президентом головного подразделения, шведской компании Tele2 A. B.
19 апреля 2013 г. назначен генеральным директором ФГУП "Почта России", сменил на этом посту Александра Киселева.
Дмитрий Страшнов возглавил "Почту России" вскоре после "почтового коллапса", когда в канун нового 2013 г. в московских аэропортах скопилось более 500 т посылок. Для повышения эффективности доставки отправлений предприятие начало создавать сеть крупных логистических почтовых центров (первый открылся в 2015 г. во Внуково, планируется открытие таких центров во всех федеральных округах). За четыре года число обработанных международных почтовых отправлений с товарными вложениями выросло в 5,6 раз: с 40 млн (в 2013 г.) до 225 млн штук (в 2016 г.). Также при Страшнове "Почта России" успешно запустила вместе с Банком ВТБ банковскую сеть на базе своих отделений - Почта Банк. В 2016-2017 гг. Страшнов был членом наблюдательного совета Почта банка.
Покинул пост в "Почте России" после истечения срока контракта 1 июля 2017 г. Вместо него компанию возглавил Николай Подгузов.
В ноябре 2017 г. начал работать операционным директором в корпорации "Еврохим". С 1 июля 2018 г. сменил на посту ее главного исполнительного директора Дмитрия Стрежнева, но уже в сентябре того же года покинул компанию.
Член Правительственной комиссии по связи (с 2013 г.).
В середине ноября 2016 г. пресс-служба "Почта России" сообщила, что зарплата Страшнова в "Почте России" с 2014 г. составляла 460,5 тыс. руб. в месяц с учетом надбавок. Кроме того, ему было выплачено вознаграждение в размере 95,4 млн руб.
25 декабря 2016 г. Генеральная прокуратура РФ заявила, что считает незаконной выплату вознаграждения в 95,4 млн руб. Дмитрию Страшнову и добивается возбуждения против него уголовного дела. В январе 2017 г. Генеральный прокурор Юрий Чайка заявил в интервью ТАСС, что считает доходы Страшнова "антирекордом и наглостью". Уголовное дело заведено в итоге не было.
Награжден почетной грамотой правительства РФ (2017).
До начала 1990-х гг. играл в волейбол в командах высшей лиги.