Родился 17 июня 1882 г. (5 июня 1882 г. по ст. ст.) в Ораниенбауме (ныне г. Ломоносов) под Санкт-Петербургом в семье музыкантов. Его отец - Федор Игнатьевич Стравинский (1843-1902) - был оперным певцом, солистом Мариинского театра. Мать будущего композитора - Анна Кирилловна Холодовская (1854-1939) - пианистка, сопровождала супруга в качестве концертмейстера. У Игоря Стравинского было трое братьев: Роман (1874-1897), Юрий (1878-1941) и Гурий (1884-1917).
Начальное образование Игорь Стравинский получил во Второй Санкт-Петербургской гимназии и гимназии Якова Гуревича.
С девяти лет брал уроки фортепиано у педагогов Александры Снетковой и Леокадии Кашперовой. По воспоминаниям Стравинского, Кашперова запрещала пользоваться педалями фортепиано и требовала "держать звук пальцами", как при игре на органе. Впоследствии композитор, по его словам, избегал писать музыку, "требовавшую усиленной педализации". Кроме того, он учился у пианистов Федора Акименко и Василия Калафати.
В 1900 г. после окончания гимназии Гуревича Игорь Стравинский по настоянию родителей поступил на юридический факультет Санкт-Петербургского университета. Однако все свое время он посвящал самостоятельному изучению музыкально-теоретических дисциплин. В 1905 г. отказался от сдачи выпускных экзаменов в университете.
С 1902 г. посещал занятия известного русского композитора, дирижера и педагога Николая Римского-Корсакова. Под его руководством были написаны первые сочинения Стравинского: соната для фортепиано (1904), вокально-симфоническая сюита "Фавн и пастушка" (1906), симфония ми-бемоль мажор (1907), "Фантастическое скерцо" и "Фейерверк" для оркестра (1908). После смерти Римского-Корсакова в 1908 г. молодой композитор посвятил своему учителю "Погребальную песнь".
В начале 1900-х гг. Игорь Стравинский тесно сблизился с Сергеем Дягилевым и членами объединения "Мир искусства". Дягилев предложил ему написать музыку для балета "Русских сезонов" в Париже. Композитор сотрудничал с труппой Дягилева в течение нескольких лет, работал с хореографами Михаилом Фокиным и Вацлавом Нижинским, художниками Львом (Леоном) Бакстом, Александром Головиным и Николаем Рерихом и др.
Для "Русских сезонов" Стравинским были написаны балеты на мотивы русского фольклора: "Жар-птица" (1910), "Петрушка" (1911) и "Весна священная" (1913), которые принесли композитору мировую известность. Работая над ними, Стравинский сформировал свой собственный музыкальной язык, в котором использовал нарочитую грубость ритмики, асимметричность музыкальных фраз, полиритмию. Постановки вызвали неприятие части публики, зрители покидали представления. Многие критиков называли балеты абсурдом, однако другие считали, что Стравинский создал произведение будущего. Так, итальянский композитор Альфредо Казелла назвал балеты Стравинского "гигантским маяком XX века".
В 1910-1911 гг. в Париже Игорь Стравинский сблизился с одним из реформаторов западноевропейской культуры, стоявшим у начала импрессионизма в музыке, композитором Эриком Сати, а также с его последователем, ведущим представителем этого стиля Клодом Дебюсси.
В начале 1914 г. композитор выехал с семьей в Швейцарию. В том же году после начала Первой мировой войны решил не возвращаться на родину. Произошедшая впоследствии революция только убедила его в правильности решения.
С 1915 г. он проживал близ Лозанны, с 1920 г. - преимущественно в Париже. Позднее, в 1934 г., принял французское подданство.
В Швейцарии Стравинским были созданы опера "Соловей" по одноименной сказке Ханса Кристиана Андерсена (1914), балет "Байка про Лису, Петуха, Кота да Барана" (1917), опера-балет "История солдата" на основе сказок Александра Афанасьева (1918). Он написал "русские хореографические сцены с музыкой и пением" под названием "Свадебка" (1914-1923), перекликающиеся с "Весной священной". С 1915 г. композитор также выступал в качестве дирижера собственных сочинений (реже - как пианист).
После переезда во Францию Игорь Стравинский познакомился с членами группы французских музыкантов "Шестерка", которые считали его своим идейным вдохновителем наряду с Эриком Сати.
В 1919 г. композитор обратился к неоклассицизму, для которого характерна адаптация принципов эстетики XVII-XVIII веков. По заказу Сергея Дягилева был написан балет с пением "Пульчинелла" по мотивам музыки Джованни Баттиста Перголези и других композиторов XVIII века. Для балета Стравинский создал оркестровку, которая отсылала к старинным мелодиям, при этом использовал приемы комедии дель арте. Премьера спектакля, автором декораций к которому стал Пабло Пикассо, состоялась в мае 1920 г.
В 1922 г. Стравинский закончил работу над оперой-буфф "Мавра", в основу которой легла поэма Александра Пушкина "Домик в Коломне". Работая над своим следующим произведением, которое он писал по заказу Библиотеки Конгресса в Вашингтоне, композитор обратился к классическому балету. В основу сюжета легли мифы о древнегреческом боге Аполлоне, покровителе искусств. Постановщиком балета "Аполлон Мусагет" (1927-1928) выступил известный американский хореограф Джордж Баланчин, над костюмами работала основательница всемирно известного французского модного дома Коко Шанель.
В 1928 г. композитор решил создать балет, посвященный Петру Чайковскому - "Поцелуй феи". Либретто было написано Стравинским вместе с Александром Бенуа, в его основу легли сюжетные мотивы сказки Ханса Кристиана Андерсена "Ледяная дева". Вопреки сложившейся традиции, балет был поставлен не "Русскими сезонами", а труппой Иды Рубинштейн (постановка Брониславы Нижинской), из-за чего последовал разрыв Стравинского с Сергеем Дягилевым.
Во Франции Игорем Стравинским была создана серия произведений в неоклассическом стиле: балеты "Игра в карты" (1936), "Орфей" (1947), опера-оратория "Царь Эдип" (1927), духовные произведения "Отче наш" для хора без сопровождения (1928) и "Симфония псалмов" (1930), мелодрама "Персефона" (1938), опера "Похождения повесы" (1951) и др.
С середины 1930-х гг. музыкант часто жил и работал в США. С 1939 г. преподавал в Гарвардском университете, читал курс лекций "Музыкальная поэтика".
Вскоре после начала Второй мировой войны в 1939 г. Стравинский окончательно переехал в Америку и поселился в Голливуде (шт. Калифорния). В 1945 г. получил американское гражданство.
С конца 1940-х гг. композитор отдавал предпочтение музыке добаховской эпохи, обращался к духовным песнопениям и др. В эти годы он стал интересоваться т. н. новой венской школой, для которой было характерно стремление к авангардизму. В своих сочинениях Стравинский стал использовать серийную (додекафонную) технику, открытую в начале XX века Арнольдом Шенбергом. В сочинениях Стравинского ноты разной высоты сменяли друг друга в строгой повторяющейся последовательности. Критики писали, что композитор отошел от русской темы, его сочинения становятся все более аскетичными, нейтральными и универсальными. Однако сам музыкант с этим не соглашался, утверждая, что "русский стиль" заложен в самой природе его музыки. По его словам, "у человека одно место рождения, одна родина - и место рождения является главным фактором его жизни".
Среди сочинений Стравинского последних лет "Священное песнопение в честь апостола Марка" (1955), балет "Агон" (1957), "Монумент Джезуальдо ди Веноза к 400-летию" для оркестра (1960), кантата-аллегория "Потоп" в духе английских мистерий XV века (1962), "Реквием" ("Заупокойные песнопения", 1966).
В 1948 г. познакомился с американским дирижером Робертом Крафтом, который стал его биографом. Крафт написал монографию о Стравинском, а также несколько книг мемуаров о нем. В 1991-2011 гг. под руководством Крафта выходило собрание произведений Стравинского (всего 12 выпусков), в 1996 г. американский дирижер впервые записал первоначальную авторскую версию "Жар-птицы" (с лондонским оркестром "Филармония").
В 1951 г. Стравинский был принят в Шведскую королевскую музыкальную академию.
Игорь Стравинский работал практически во всех современных ему жанрах, экспериментировал со стилями, с композицией и техниками, за что его называли "Протеем XX века" (Протей - древнегреческое морское божество, обладающее способностью к перевоплощению).
Осенью 1962 г. Игорь Стравинский гастролировал в Советском Союзе вместе с Робертом Крафтом. Его концерты с успехом прошли в Москве и Ленинграде (ныне Санкт-Петербург). Он провел несколько встреч в Союзе композиторов СССР, был принят главой советского государства Никитой Хрущевым.
В 1966 г. композитор написал реквием "Заупокойные песнопения", которое считал одним из главных произведений в своей жизни. Его последним завершенным сочинением стала обработка для камерного оркестра двух духовных песен Хуго Вольфа на немецком языке (1968).
6 апреля 1971 г. Игорь Стравинский скончался в Нью-Йорке (США) от сердечной недостаточности. Композитор был похоронен на кладбище Сан-Микеле в Венеции (Италия), недалеко от могилы Сергея Дягилева.
Игорь Стравинский - лауреат пяти премий "Грэмми" (1962-1968), специальной награды "Грэмми" за жизненные достижения (1987; посмертно).
Ему принадлежит нескольких литературных произведений, в их числе мемуары "Хроника моей жизни" (1935), "Диалоги" (1963), сборник "Музыкальная поэтика" (1942).
Первой супругой композитора была его кузина Екатерина Гавриловна Носенко (1881-1939). В семье родились четверо детей: сыновья Федор и Святослав, дочери Людмила и Милена. В 1940 г., после смерти первой жены, Игорь Стравинский женился на актрисе и художнице Вере Артуровне Судейкиной (де Боссе; 1889-1982). Дочь композитора Людмила была женой поэта и литературного критика Юрия Владимировича Мандельштама (1908-1943).
В честь Игоря Стравинского назван кратер на Меркурии и астероид 4382 (4382 Stravinsky). Его имя носят улицы и площади в Лозанне (Швейцария), Амстердаме (Нидерланды), в г. Ломоносове (Санкт-Петербург, РФ). В швейцарском г. Монтре существует улица Весны священной (Rue du Sacre Printemps), а крупнейший концертный зал назван в честь композитора. Там же в 2014 г. установлен памятник Игорю Стравинскому. В его честь названа также музыкальная школа в Ломоносове. В украинском г. Устилуге, где композитор жил с 1892 по 1914 г. и где писал свои знаменитые балеты для "Русских сезонов" Сергея Дягилева, открыт первый в мире музей Игоря Стравинского (1990).