Родилась 2 февраля 1937 г. на станции Чаплино (Васильковский район Днепропетровской области Украинской ССР; ныне поселок Чаплино Васильковского р-на Днепропетровской обл. Украины) в семье Ильи Евгеньевича (1911-1941) и Полины Павловны (1916-1945) Стрельченко. Лишилась родителей во время Великой Отечественной войны, после 1945 г. воспитывалась в детдоме.
В 1963 г. окончила в Москве годичную Всероссийскую творческую мастерскую эстрадного искусства (обучалась в классе Ирмы Яунзем), в 1980 г. - Государственный музыкально-педагогический институт им. Гнесиных (ныне Российская академия музыки им. Гнесиных, Москва), где ее педагогами были Елена Гедеванова и Леонид Базилевич.
Получив среднее образование, работала воспитательницей в детском саду, а также поступила на заочное отделение факультета дошкольной педагогики Ленинградского государственного педагогического института им. А. И. Герцена (ныне Российский государственный педагогический университет им. А. И. Герцена, Санкт-Петербург).
В 1958-1959 гг. выступала в составе Воронежского русского народного хора, однако из-за временной потери голоса была отчислена, после чего некоторое время вновь работала воспитательницей.
В 1959-1962 гг. являлась солисткой Липецкой областной филармонии.
В 1962 г. принимала участие в VIII Всемирном фестивале молодежи и студентов (Хельсинки, Финляндия).
С 1964 г. была артисткой Москонцерта, а также художественным руководителем мастерской народного творчества в концертном объединении "Эстрада".
В 2000-х гг. являлась профессором Московского государственного университета культуры и искусств (ныне Московский государственный институт культуры), заведовала кафедрой сольного народного пения. Помимо этого, возглавляла жюри Всероссийского конкурса исполнителей народной песни имени Надежды Плевицкой, входила в состав жюри всероссийских молодежных и всемирных Дельфийских игр.
Александра Стрельченко была известна в качестве исполнительницы романсов и народных песен, а также сочинений советских композиторов. Среди них: "По муромской дорожке", "Раскинулось море широко", "Я люблю свою землю", "Выйду на улицу", "Час да по часу", "Подари мне платок", "Кудрявая рябина", "Какая песня без баяна", "Речные омуты", "Земля родимая" и др. Ее вокал звучал в киноэпопее Сергея Бондарчука "Война и мир" по роману Льва Толстого (1965-1967), драме Николая Губенко "Пришел солдат с фронта" по мотивам рассказов Сергея Антонова (1971), симфонической поэме Евгения Светланова "Калина красная".
В разное время сотрудничала с Большим симфоническим оркестром Всесоюзного радио и Центрального телевидения (ныне Большой симфонический оркестр им. П. И. Чайковского), секстетом солистов оркестра Государственного академического Большого театра, Национальным академическим оркестром народных инструментов России им. Н. П. Осипова и др.
Александра Стрельченко скончалась 2 августа 2019 г. в Москве на 83-м году жизни. Похоронена на Троекуровском кладбище.
Народная артистка РСФСР (1984).
Была награждена орденом Почета (2010).
В 1968 г. стала лауреатом международного певческого конкурса в рамках IX Всемирного фестиваля молодежи и студентов (София, Болгария), в 1971 г. - международного конкурса в Братиславе (Чехословакия, ныне столица Словакии).
Александра Стрельченко была дважды замужем. Первый супруг, генерал-майор КГБ Владимир Чекалов, погиб при исполнении служебного задания. Вторым мужем был музыкальный администратор Владимир Морозов.