Родился 31 июля 1938 г. в Тбилиси (Грузинская ССР, ныне - Грузия). Отец - Роберт Стуруа (1918-1982) - народный художник Грузинской ССР, лауреат Сталинской премии II степени (1951). Мать - Маквала Болквадзе.
В 1961 г. окончил в Тбилиси режиссерский факультет Грузинского театрального института им. Шота Руставели (ныне Грузинский государственный университет театра и кинематографии им. Шота Руставели). Учился в мастерской педагога, народного артиста СССР Михаила Туманишвили.
С 1962 г. по 2011 г. работал в Грузинском государственном академическом театре им. Шота Руставели (Тбилиси). С 1979 г. являлся его главным режиссером, с 1980 г. - художественным руководителем. Поставил несколько десятков спектаклей. В их числе: "Сейлемский процесс" по пьесе Артура Миллера "Суровое испытание", "Мачеха Саманишвили" и "Невзгоды Дариспана" по произведениям Давида Клдиашвили, "Кавказский меловой круг" и "Добрый человек из Сезуана" по пьесам Бертольта Брехта, "Ричард III", "Король Лир", "Макбет", "Двенадцатая ночь" и "Гамлет" по пьесам Уильяма Шекспира, "Синие кони на красной траве" по произведению Михаила Шатрова, "Похороны в Калифорнии" по пьесе Рустама Ибрагимбекова, "В ожидании Годо" по трагикомедии Сэмюэла Беккета и др.
В августе 2011 г. был уволен из Грузинского государственного академического театра из-за критики президента страны Михаила Саакашвили. После отставки последнего в ноябре 2012 г. вернулся на должность художественного руководителя. Совмещает ее с выполнением функций генерального директора.
С 1998 г. регулярно сотрудничал с московскими театрами. В "Сатириконе" поставил спектакли "Гамлет" (1998) и "Синьор Тодеро - хозяин" по пьесе Карло Гольдони "Синьор Тодеро - брюзга, или Докучливый старик" (2002), в "Et Cetera" - "Шейлок" по пьесе Уильяма Шекспира "Венецианский купец" (2000), "Последняя запись Крэппа" по драме Сэмюэла Беккета (2002), "Буря" по пьесе Уильяма Шекспира (2010), в Театре им. А. С. Пушкина - "Ромео и Джульетта" по трагедии Уильяма Шекспира (2004).
С 2011 г. по н. в. - главный режиссер московского театра "Et Cetera". Поставил на его сцене спектакли: "Ничего себе местечко для кормления собак" по пьесе Тарика Нуи (2012), "Звездный мальчик" по сказке Оскара Уайльда (2012) и "Комедия ошибок" по произведению Уильяма Шекспира (2013).
Осуществлял постановки в театрах Великобритании, Германии, Греции, Италии, Аргентины, Турции, Болгарии, Украины и др.
В общей сложности Роберт Стуруа поставил более 80 спектаклей, из них значительную часть - в соавторстве с художником Георгием Алекси-Месхишвили и композитором Гией Канчели.
Роберт Стуруа в качестве режиссера поставил около десяти опер, в т. ч. "Мазепу" Петра Чайковского на сцене Государственного академического Большого театра России (2004).
Автор пьес "Обвинение", "Концерт для двух скрипок в сопровождении восточных инструментов", "Вариации на современную тему" (в соавторстве с Автандилом Варсимашвили и Лили Попхадзе).
В качестве актера снимался в художественных фильмах "Жил певчий дрозд" (1970, режиссер Отар Иоселиани), "Золотой паук" (1992, Георгий Кавтарадзе и др.) и "Прогулка в Карабах" (2005, Леван Тутберидзе).
Народный артист СССР (1982).
Награжден орденами Дружбы (2008) и Чести (Грузия, 1998).
Лауреат Государственной премии СССР в области литературы, искусства и архитектуры 1979 г., Государственной премии РФ в области литературы и искусства 1999 г., Государственной премии Грузии 1996 г.
Удостоен Международной премии К. С. Станиславского (2002), театральных премий "Чайка" (1998) и "Золотая маска" (2013).
Почетный гражданин Тбилиси (1996), почетный доктор Грузинского государственного университета театра и кинематографии им. Шота Руставели.
Женат. Супруга - Дудана Квеселава (род. 1939) - переводчик, искусствовед. Имеет сыновей Георгия (род. 1968) и Михаила (род. 1973).