Родился 12 ноября 1978 г. в Москве.
В 2000 г. с отличием окончил строительный факультет Московского государственного университета природообустройства по специальности "инженер-строитель", в 2013 г. - Институт мировых цивилизаций.
С 1996 г. был специалистом, ведущим специалистом центральной гидрохимической лаборатории. В 1999 г. был избран председателем профсоюзной организации и членом ученого совета университета.
В 2000 г. перешел на должность младшего научного сотрудника в Государственный центр водохозяйственного мониторинга Министерства природных ресурсов РФ.
В 2000 г. вступил в Либерально-демократическую партию России (ЛДПР).
В 2001-2002 гг. - заместитель координатора южной окружной организации ЛДПР Москвы, в 2002-2003 гг. - северной окружной организации ЛДПР Москвы.
В 2003-2004 гг. - сотрудник секретариата заместителя председателя Государственной думы РФ III и IV созывов Владимира Жириновского.
В 2004-2008 гг. - помощник первого заместителя руководителя фракции ЛДПР в Госдуме IV созыва Максима Рохмистрова.
2 декабря 2007 г. участвовал в выборах депутатов Госдумы V созыва от ЛДПР (восьмой номер в региональной группе №42, Москва), но в Думу не прошел.
В 2008-2010 гг. - помощник заместителя председателя Госдумы V созыва Владимира Жириновского.
Занимал должность директора автономной некоммерческой организации "Центр информационно-консультационных услуг в области жилищного права "Молодежный город".
В 2010-2011 гг. - депутат совета городского округа Лыткарино Московской области V созыва. Был избран от ЛДПР по второму одномандатному округу (23,41%). Депутатские полномочия исполнял на непостоянной основе.
В 2011-2016 гг. – депутат Государственной думы РФ VI созыва. Был избран 4 декабря 2011 г. по списку ЛДПР (первый номер в региональной группе №79, Москва). В Думе был членом комитета по вопросам собственности, входил во фракцию ЛДПР.
В 2016-2021 гг. – депутат Государственной думы РФ VII созыва. Избран 18 сентября 2016 г. в составе федерального списка кандидатов, выдвинутого ЛДПР (первый номер в региональной группе №88, Московская область). Баллотировался также по Орехово-Зуевскому одномандатному округу №123 (Московская обл.), занял 4-е место с результатом 10,6% голосов избирателей. В Госдуме был заместителем председателя комитета по информационной политике, информационным технологиям и связи. Входил во фракцию ЛДПР.
С июня 2022 г. - депутат Государственной думы РФ VIII созыва. Андрей Свинцов участвовал 19 сентября 2021 г. в выборах в Госдуму от партии ЛДПР. Баллотировался под первым номером в составе региональной группы №41 (Москва). По итогам распределения мест депутатский мандат не получил. 1 июня 2022 г. Центризбирком России передал Свинцову вакантный думский мандат лидера ЛДПР Владимира Жириновского, который скончался 6 апреля текущего года в возрасте 75 лет после продолжительной болезни. 8 июня Свинцов был зарегистрирован депутатом Государственной думы РФ VIII созыва.