Родился 10 февраля 1979 г. в Москве.
В 2002 г. окончил магистратуру Московского государственного университета международных отношений (МГИМО) МИД РФ.
Кандидат экономических наук. В 2009 г. в Российской академии государственной службы при президенте РФ защитил диссертацию "Совершенствование стратегического планирования развития инновационной экономики".
С ноября 2002 г. по июнь 2008 г. – работал на различных должностях в министерстве экономического развития и торговли РФ, которым руководил Герман Греф.
С июня 2008 г. по июнь 2012 гг. – помощник министра экономического развития РФ Эльвиры Набиуллиной.
С июня 2012 г. по июль 2013 г. работал в Администрации президента РФ, был руководителем аппарата помощника президента РФ Эльвиры Набиуллиной.
С июля 2013 по январь 2017 г. – руководитель секретариата председателя Центрального банка РФ Эльвиры Набиуллиной.
С 28 января 2017 г. по 19 мая 2020 г. - заместитель министра экономического развития РФ (ведомство до января 2020 г. возглавлял Максима Орешкин, затем - Максим Решетников). Азер Талыбов курировал в ведомстве Финансовый департамент, а также департаменты финансово-банковской деятельности и инвестиционного развития, проектного управления, бюджетного планирования и государственных программ, управления делами, государственных целевых программ и капитальных вложений.
20 июля 2020 г. назначен председателем правления Росэксимбанка, входящего в группу РЭЦ (Российский экспортный центр).
Член Правительственной комиссии по мониторингу и оперативному реагированию на изменение конъюнктуры продовольственных рынков (с сентября 2017 г.).
Член наблюдательного совета госкорпорации "ДОМ.РФ" (с января 2020 г.).
Действительный государственный советник РФ II класса (2019).
Награжден медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени (2008). Отмечен благодарностью президента РФ (2011).
Женат, имеет двоих детей.