Родился 15 сентября 1923 г. в Таганроге (Донецкая губерния Украинской ССР, ныне в Ростовской обл. РФ). Фамилия при рождении - Танхилевич. Отец Исаак Танхилевич служил заместителем начальника ЧК в Мариуполе, затем занимал пост начальника коммунального хозяйства Таганрога. В 1938 г. он был обвинен в хищении социалистической собственности и расстрелян. Арестована была и мать, Марина Траскунова. 14-летний Михаил переехал к деду в Ростов-на-Дону.
Аттестат о среднем образовании получил 22 июня 1941 г., в день начала Великой Отечественной войны 1941-1945 гг.
В 1942 г. Михаил Танич был призван в ряды Рабоче-крестьянской Красной армии, проходил учебу в Тбилисском артиллерийском училище. В 1944-1945 гг. командовал противотанковым орудием, участвовал в боях на Белорусском и Прибалтийском фронтах, получил несколько ранений. После окончания войны демобилизовался и вернулся в Ростов-на-Дону.
В 1945 г. поступил на архитектурный факультет Ростовского инженерно-строительного института, однако в 1947 г. по доносу был обвинен в антисоветской агитации и осужден на шесть лет лагерей. Наказание отбывал в районе Соликамска (Пермский край).
После освобождения в 1953 г. несколько лет работал строителем на Сахалине. Публиковал в местных газетах стихи под фамилией Танич. В 1956 г. был реабилитирован. В том же году с женой Лидией Козловой поселился в г. Орехово-Зуево (Московская обл.). Стихи Танича начали печатать московские издания - "Литературная газета", журналы "Юность", "Смена" и др.
В 1959 г. был издан первый сборник стихов поэта. В 1960 г. большую известность получила песня "Текстильный городок" на стихи Михаила Танича и музыку композитора Яна Френкеля (исполнялась Майей Кристалинской, Раисой Неменовой). В 1963 г. песня "Черный кот", написанная Таничем совместно с композитором Юрием Саульским, стала популярной не только в исполнении Тамары Миансаровой, но и в разных вариациях за пределами СССР.
В 1970-х гг. Михаил Танич как поэт-песенник сотрудничал с целым рядом советских композиторов - Раймондом Паулсом, Аркадием Островским, Эдуардом Колмановским, Оскаром Фельцманом, Владимиром Шаинским, Никитой Богословским и др. Песни на его стихи исполняли Эдита Пьеха, Клавдия Шульженко, Людмила Зыкина, Алла Пугачева и др. В числе его сочинений - романс "Черное и белое" ("Мы выбираем, нас выбирают") для телефильма "Большая перемена" (1972, режиссер Алексей Коренев), песни "Идет солдат по городу", "Признание в любви", "На дальней станции сойду", "Погода в доме" и др.
В 1980-х гг. Михаил Танич продолжал писать тексты песен в т. ч. для таких исполнителей, как Юрий Антонов ("Не забывай" / "Мечта сбывается"), Валерий Леонтьев ("Три минуты"), Игорь Саруханов ("Парень с гитарой"), композитора Давида Тухманова и др.
В начале 1990-х гг. поэт совместно с музыкантом Сергеем Коржуковым организовал группу "Лесоповал", солистом которой после гибели Коржукова в 1994 г. стал Сергей Куприк. Коллектив исполнял композиции тюремной тематики - "большой цикл исторических песен о воле-неволе", как характеризовал их сам Танич. Всего для "Лесоповала" он написал более 300 песен. В 1990-2000-х гг. сотрудничал с Аленой Апиной, Ларисой Долиной, Валерием Сюткиным и др. исполнителями.
Михаил Танич скончался 17 апреля 2008 г. в Москве на 85-м году жизни. Похоронен на Ваганьковском кладбище.
Был награжден орденом Почета (1998), советскими орденами Красной Звезды (1945), Славы III степени (1945), Отечественной войны I степени.
Народный артист РФ (2003).
Лауреат российской музыкальной премии "Овация" (1997), премии МВД России (1997), фестивалей "Песня года" и др.
Член Союза писателей СССР с 1968 г. Автор множества сборников стихов и песен, книги воспоминаний "Играла музыка в саду" (2000).
Почетный гражданин Таганрога (2003).
Имя Михаила Танича с 2010 г. носит трехпалубный круизный теплоход проекта 26-37 московской судоходной компании "Белый лебедь".