Родился 11 декабря 1950 г. в Киеве (Украинская ССР, ныне Украина). Отец - работник цирка и сценарист Михаил Татарский (1920-1998).
В 1974 г. Александр Татарский окончил киноведческий факультет Киевского государственного института театрального искусства им. И. К. Карпенко-Карого (ныне Киевский государственный университет театра, кино и телевидения имени И. К. Карпенко-Карого) по специальности "кинодраматург-киновед, редактор". В 1975 г. стал выпускником киевских специализированных трехгодичных курсов художников-мультипликаторов Госкино УССР.
В 1968 г. начал работать на студии "Киевнаучфильм", где участвовал в создании десятков анимационных кинолент, освоив профессиональные навыки, связанные с производством рисованного и кукольного мультипликационного кино. В 1974 г. вместе с Игорем Ковалевым при помощи самодельного анимационного станка снял свой дебютный мультфильм "Кстати о птичках".
В 1980 г. по приглашению руководства Гостелерадио СССР переехал в Москву и занял должность режиссера в анимационной студии "Мульттелефильм" творческого объединения "Экран". В 1980-1982 гг. как вольнослушатель посещал занятия Высших курсов сценаристов и режиссеров Союза кинематографистов и Госкино СССР.
Широкое признание принесла Александру Татарскому его первая же телевизионная работа - мультипликационный фильм "Пластилиновая ворона" (1981) по мотивам басни Ивана Крылова "Ворона и лисица". В той же технике пластилиновой анимации Татарский выполнил заставку для телепрограммы "Спокойной ночи, малыши!" (1981) и мультфильм-притчу "Падал прошлогодний снег" (1983). Среди других работ режиссера за этот период - "Обратная сторона луны" (1984), "Кубик, Рубик, клоунада" (1985) "Крылья, ноги и хвосты" (1986, совместно с Игорем Ковалевым).
В 1986-1987 гг., также вместе с Игорем Ковалевым, Александр Татарский поставил двухсерийный цикл "Следствие ведут Колобки" по мотивам детской книги Эдуарда Успенского "Похищение Белого Слона". Главные герои этих лент, сыщики Шеф и Коллега, в дальнейшем фигурировали в других фильмах Татарского как братья Пилоты.
В 1988 г. создал и возглавил в Москве первую в СССР негосударственную анимационную киностудию "Пилот". В первой половине 1990-х гг. работал над рекламными роликами, музыкальными видеоклипами.
В 1996 г. продюсировал телевизионный цикл "Из личной жизни братьев Пилотов" (пять фильмов, снятых разными режиссерами "Пилота", в т. ч. самим Татарским).
В 1997 г. образовал в Москве студию "Пилот ТВ". Ее специализацией стало производство компьютерной анимации для телевидения. В 1997-99 гг. Александр Татарский работал продюсером, руководителем создававшихся на этой студии телепрограмм - детской "Чердачок Фруттис" (1997-1999), социально-сатирической "Тушите свет" (2000-2003).
Параллельно с продюсерской деятельностью в 1990-2000-х гг. продолжал снимать анимационные фильмы - "Я дам тебе знать" (1996), "Унесенные ветром" (1999), "Красные ворота Расёмон" (2002, совместно с Валентином Телегиным) и др.
С 2004 г. как продюсер и художественный руководитель работал над большим циклом анимационных фильмов "Гора самоцветов". В цикл вошли ленты самого Татарского: "Как пан конем был" и "Толкование сновидений" (оба сняты совместно с В. Телегиным). Татарскому принадлежит идея мультсериала "Фиксики" (выходит с 2010 г. по н. в.).
Более 20 лет занимался преподавательской деятельностью в области подготовки художников и режиссеров анимационного кино.
В 1996-2007 гг. занимал пост президента Открытого российского фестиваля анимационного кино (проводится в г. Суздале, Владимирская обл.).
Александр Татарский умер от остановки сердца в Москве 22 июля 2007 г. на 57-м году жизни. Похоронен на Миусском кладбище столицы.
Заслуженный деятель искусств РФ (1996). Лауреат Государственной премии РФ в области литературы и искусства (1998, за сериалы "Следствие ведут Колобки и "Братья Пилоты"). Работы Александра Татарского удостоены множества наград на отечественных и зарубежных кинофестивалях и смотрах анимационного кино. В числе премий - "Ника" за лучший анимационный фильм (1997, "Братья Пилоты готовят на завтрак макарончики") и "Золотой Орел" (2006, "Гора самоцветов").
В 2012 г. была издана "Книга совпадений", куда вошли рисунки, рассказы и воспоминания Татарского о его детстве и юности. Жизни и творчеству режиссера посвящена книга "Александр "Pilot" Татарский" Сергея Капкова (2016), а также ряд телефильмов.
Александр Татарский был трижды женат. Сын от второго брака - Илья (род. 1992), сын от третьего брака - Михаил (род. 2006).