Родился 17 ноября 1939 г. в Ленинграде (ныне - Санкт-Петербург). Его родители - Виталий Борисович Татарский и Нина Юрьевна Икорникова - были научными работниками, специалистами в области кристаллографии, работали в Ленинградском государственном университете (ЛГУ, ныне Санкт-Петербургский госуниверситет). Позднее отец Виктора Татарского возглавил кафедру кристаллографии ЛГУ.
Детство провел в детском доме в блокадном Ленинграде. В 1946 г. мать увезла его в Москву, где он жил вместе с ней и отчимом - советским театральным режиссером, соратником Всеволода Мейерхольда, Валерием Бебутовым. По материнской линии приходится праправнуком русского философа, публициста, революционера-демократа Николая Чернышевского.
В школьные годы занимался в театральном кружке в Доме пионеров. Вместе с Виктором Татарским эти занятия посещали Сергей Никоненко, Иван Бортник и др. будущие известные актеры.
В 1958 г., сразу после окончания школы, Виктор Татарский уехал работать в Астрахань, в драматический театр им. С. Кирова. Был задействован в массовке. Спустя год вернулся в Москву, а в 1960 г. переехал в Мурманск, где год проработал на местном телерадиоцентре.
В 1961-1966 гг. учился в Театральном училище им. М. С. Щепкина (Москва), на курсе Игоря Ильинского и Михаила Царёва.
Одновременно работал в музыкальной редакции Всесоюзного радио, готовил радиопередачи о поэтах и композиторах.
C 1967 г. Виктор Татарский был автором и бессменным ведущим одной из старейших отечественных радиопрограмм - "Встреча с песней".
Первый выпуск передачи "Встреча с песней" вышел в эфир 31 января 1967 г. Ее продолжительность составляла один час (впоследствии 50 мин.), музыкальной заставкой была выбрана песня "Одинокая гармонь" в исполнении оперного певца Сергея Лемешева (ныне в качестве позывных звучит только мелодия песни, без голоса). С 1991 г. программа Виктора Татарского выходила на "Радио-1", с 1997 г. ее транслировала "Радио России". "Встреча с песней" передавалась в записи каждую вторую, четвертую, а также пятую субботу месяца в 21:10 мск. С 1967 г. вместе с Виктором Татарским над ней работала редактор Тереза Рымшевич, в 1985 г. ее сменила Татьяна Зубова. До конца жизни обязанности редактора выполнял сам автор - Виктор Татарский.
Программа была построена в форме чтения писем слушателей, которые делились воспоминаниями о музыкальных произведениях прошлых лет, оставивших после себя глубокое впечатление. В программе звучали редкие или архивные записи оперных арий, романсов, эстрадных песен и др. Передача выходила без перерыва 55 лет, 26 февраля 2022 г. прозвучал ее 1433-й выпуск.
Одновременно в 1967-1997 гг. Виктор Татарский был ведущим популярного еженедельного радиожурнала "Музыкальный глобус" (вместе с Марией Ключниковой; программа выходила с 1964 г., автор и реж. - Екатерина Тарханова). Программа освещала музыкальные фестивали ("Красная гвоздика" в Сочи; "Орфей" в Болгарии; конкурсы в польском г. Сопоте, итальянском г. Сан-Ремо и др.), знакомила слушателей с известными мировыми хитами и музыкальными новинками (Дин Рид, Боб Дилан, "Битлз", "Ролинг Стоунз" и др.).
В 1970 г. Виктор Татарский стал автором и ведущим еженедельной радиопрограммы "Запишите на ваши магнитофоны", где звучали песни популярных западных исполнителей. После закрытия передачи в 1973 г. вел на радиостанции "Маяк" программу "На всех широтах". Она также рассказывала о новинках мировой эстрады, однако большее внимание уделялось исполнителям из стран социалистического блока и песням советских композиторов. Позднее были выпущены гибкие пластинки одноименной серии с песнями, прозвучавшими в передаче. В 1976 г. "На всех широтах" была закрыта.
В 1996-2001 гг. вел цикл телевизионных программ "История одного шедевра" (ОРТ). Каждый выпуск был посвящен художественным произведениям в собраниях Третьяковской галереи, Русского музея и музеев Московского Кремля (картины "Черный квадрат" Каземира Малевича, "Тройка" Василия Перова, "Москва. Кремль" Василия Кандинского, статуя "Иван Грозный" Марка Антокольского и др.).
Виктор Татарский также известен как чтец. Им были записаны сольные программы и аудиокниги по произведениям Михаила Булгакова, Юрия Трофимова, Сомерсета Моэма, Александра Твардовского, Александра Герцена, Николая Гоголя, Дмитрия Липскерова, Фазиля Искандера и др.
Принимал участие в озвучивании фильмов "Восемь с половиной" и "Амаркорд" Федерико Феллини, "Кабаре" Боба Фосса. Картины шли в советском прокате с одноголосым закадровым переводом, который читал Виктор Татарский.
Был членом Союза журналистов России (с 1969 г.).
Входил в состав жюри ежегодной национальной премии в области радиовещания "Радиомания". Лауреат премии "Золотой микрофон" в номинации "Легенда".
Народный артист Российской Федерации (2012).