Родился 19 января 1973 г. в Челябинске.
В 1995 г. с отличием окончил Норильский индустриальный институт (ныне Заполярный государственный университет им. Н. М. Федоровского) по специальности "экономика и управление в металлургии", получив квалификацию "инженер-экономист".
Выпускник первого потока т. н. школы губернаторов. Программа подготовки кадрового управленческого резерва государственной службы была запущена в июне 2017 г. на базе Высшей школы государственного управления (ВШГУ) и подготовлена на основе программ Корпоративного университета Сбербанка, Московской школы управления "Сколково", РАНХиГС и Высшей школы экономики.
С 1990 г. работал на Норильском горно-металлургическом комбинате им. А. П. Завенягина и в горно-металлургической компании (ГМК) "Норильский никель". Начинал как техник экономического отдела, позднее, в 1999-2001 гг., был начальником управления налогового планирования Норильской горной компании (с 2001 г. - ОАО "Горно-металлургическая компания "Норильский никель").
В 2001-2005 гг. - главный бухгалтер, в 2005-2006 гг. - заместитель директора - руководитель многоотраслевой обеспечивающей дирекции заполярного филиала ГМК "Норильский никель". В 2006 г. был назначен генеральным директором дочерней компании холдинга - ООО "Норильский обеспечивающий комплекс".
В 2008-2009 гг. - глава администрации (сити-менеджер) г. Норильска (был утвержден в должности депутатами горсобрания по итогам конкурса 8 марта 2008 г.).
С сентября 2009 г. по декабрь 2011 г. - руководитель казахстанской бизнес-единицы золотодобывающей компании "Полюс золото". Одновременно занимал должность генерального директора горно-металлургического концерна "Казахалтын".
С декабря 2011 г. по июль 2013 г. являлся управляющим директором - руководителем красноярской бизнес-единицы ЗАО "Полюс золото".
С 20 июля 2013 г. - заместитель, с 18 ноября 2014 г. по 21 марта 2019 г. - первый заместитель министра энергетики РФ. В ведомстве курировал департаменты государственной энергетической политики, бюджетного планирования и учета, корпоративного управления, ценовой конъюнктуры и контрольно-ревизионной работы в отраслях ТЭК.
27 октября 2015 г. распоряжением премьер-министра РФ Дмитрия Медведева Алексею Текслеру было объявлено замечание "за ненадлежащее исполнение" должностных обязанностей. 17 июня 2016 г. дисциплинарное взыскание было снято главой правительства.
19 марта 2019 г. указом президента РФ Владимира Путина Алексей Текслер был назначен врио губернатора Челябинской области. Сменил во главе региона Бориса Дубровского.
8 сентября 2019 г. Алексей Текслер был избран губернатором Челябинской области на прямых выборах. За него проголосовали 69,30% избирателей (баллотировался в порядке самовыдвижения). Второе место занял кандидат от КПРФ, адвокат Константин Нациевский (12,02%). 20 сентября того же года Алексей Текслер официально вступил в должность.
8 сентября 2024 г. вновь победил на выборах губернатора Челябинской области, получив 81,28% голосов избирателей (был выдвинут "Единой Россией"). Его ближайший соперник, кандидат от ЛДПР, депутат областного заксобрания Виталий Пашин набрал 9,42%. 20 сентября того же года Алексей Текслер принял присягу.
Входит в состав генерального совета партии "Единая Россия", член комиссии генсовета по международному сотрудничеству и поддержке соотечественников за рубежом (с ноября 2021 г.). Секретарь челябинского регионального отделения партии (с октября 2020 г.).
Член президиума Государственного совета РФ. Председатель комиссии Госсовета по направлению "Экономика и финансы" (с декабря 2020 г.).
Действительный государственный советник РФ II класса (2017).
Награжден орденами Почета (2019) и Александра Невского (2022), медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени (2016).