Родился 6 апреля 1937 г. в с. Зарагиж (Кабардино-Балкарская АССР, ныне на территории Черекского района Кабардино-Балкарской Республики). Его младший брат - народный артист СССР дирижер Юрий Темирканов (род. 1938).
В 1946 г. начал посещать музыкальную школу в Нальчике. Учился игре на виолончели под руководством педагога Николая Лобач-Жученко. Впоследствии получал профильное образование в г. Орджоникидзе (Северо-Осетинская АССР; ныне г. Владикавказ, Республика Северная Осетия - Алания).
В 1965 г. Борис Темирканов окончил Саратовскую государственную консерваторию им. Л. В. Собинова по виолончельному классу профессора Николая Цеделера. В студенческие годы выступал в симфоническом оркестре Саратовской филармонии.
Получив высшее образование, Борис Темирканов вернулся в Нальчик и стал концертмейстером группы виолончелей в симфоническом оркестре местной филармонии. Также начал заниматься дирижированием и композицией.
В 1977-1978 гг., находясь на стажировке в Ленинграде (ныне Санкт-Петербург), стал дирижером-стажером в Государственном академическом Малом театре оперы и балета (ныне Санкт-Петербургский государственный академический театр оперы и балета им. М. П. Мусоргского - Михайловский театр). Дирижировал оркестром в постановках балетов "Жизель" Адольфа Адана и "Барышня и хулиган" Дмитрия Шостаковича, мюзикла "Человек из Ламанчи" Митча Ли, оперы "Ифигения" Кристофа Виллибальда Глюка.
Отказавшись от предложения работать дирижером в этом театре, Борис Темирканов продолжил работу в Нальчике. С 1978 по 2018 г. он являлся главным дирижером и художественным руководителем симфонического оркестра Кабардино-Балкарской государственной филармонии. Много гастролировал, выступал с оркестрами разных городов России.
К числу наиболее известных сочинений Бориса Темирканова относятся: песни для хора и симфонического оркестра "Эхо гор" (1969) и "Горский танец" (1970), "Лирическая песня" для сопрано (1970), песня для тенора в сопровождении симфонического оркестра "Шикапшина" (1971), кантата "Триптих эпохи" (1982). Он был автором первых сочинений для кабардинской гармоники в сопровождении симфонического оркестра.
Борис Темирканов скончался 25 октября 2018 г. в Санкт-Петербурге на 82-м году жизни. Похоронен в Нальчике.
В начале 1990-х гг. Борис Темирканов занимал должность министра культуры Кабардино-Балкарской АССР.
В 2018 г. являлся доверенным лицом кандидата на пост президента РФ Владимира Путина.
Возглавлял Союз композиторов Кабардино-Балкарской Республики.
Являлся членом Общественной палаты Кабардино-Балкарской Республики, входил в состав комиссии по культуре и СМИ.
Народный артист РФ (1996).
Был награжден орденом Дружбы народов.