Родился 14 марта 1976 г. в г. Черкесске Карачаево-Черкесской автономной области Ставропольского края (ныне Карачаево-Черкесская Республика).
В 1998 г. окончил Московский открытый социальный университет (с 2007 г. - академия; в 2012 г. лишена госаккредитации и ликвидирована) по специальностям "менеджмент" и "финансы и кредит".
После окончания вуза работал в ОАО "Карачаево-Черкесскнефтепродукт", был коммерческим директором строительного управления. Затем возглавлял управление производственно-технологической комплектации ОАО "Севкавгидроэнергострой".
С 2004 г. занимал должность генерального директора республиканского государственного учреждения "Управление капитального строительства Карачаево-Черкесской Республики", затем - генерального директора ОАО "Электротехническая компания".
В 2007 г. был избран председателем совета карачаево-черкесского регионального отделения политической партии "Справедливая Россия: Родина/Пенсионеры/Жизнь" (ныне партия "Справедливая Россия - Патриоты - За правду").
В 2009 г. вошел в резерв управленческих кадров, находящихся под патронатом президента РФ.
1 марта 2009 г. был избран депутатом Народного собрания (парламента) Карачаево-Черкесской Республики IV созыва. Баллотировался по одномандатному округу №7 в порядке самовыдвижения, по итогам голосования набрал 86,72%. Его соперник, исполнительный директор ООО "Квест-А" Расул Токов (самовыдвиженец), получил 8,26%.
С января 2010 г. Рашид Темрезов совмещал парламентскую деятельность с работой в должности начальника федерального государственного учреждения "Управление федеральных автомобильных дорог на территории Карачаево-Черкесской Республики Федерального дорожного агентства".
26 февраля 2011 г. указом главы государства Дмитрия Медведева был назначен временно исполняющим обязанности президента Карачаево-Черкесской Республики. Сменил на этом посту Бориса Эбзеева.
28 февраля 2011 г. президент РФ внес кандидатуру Темрезова на рассмотрение республиканского парламента для наделения полномочиями главы региона. 1 марта того же года депутаты Народного собрания единогласно утвердили Рашида Темрезова на посту президента республики. В тот же день состоялась церемония инаугурации.
С апреля 2011 г. - глава Карачаево-Черкесской Республики (в связи с поправками в конституцию региона о переименовании должности руководителя).
27 февраля 2016 г., в связи с истечением срока полномочий Рашида Темрезова на посту главы республики, президент РФ Владимир Путин назначил его врио главы Карачаево-Черкесии.
18 сентября 2016 г. парламент республики единогласно избрал Рашида Темрезова главой Карачаево-Черкесии, в тот же день он официально вступил в должность. Согласно конституции региона глава республики избирается депутатами Народного собрания из числа трех кандидатур, предложенных президентом РФ. Рашид Темрезов был выдвинут партией "Единая Россия". Вместе с ним в список претендентов вошли председатель комитета Народного собрания по науке, образованию, культуре, спорту, делам молодежи и туризму Исмель Биджев (КПРФ) и депутата республиканского парламента Виктор Бородкин ("Патриоты России").
28 августа 2021 г. президент РФ Владимир Путин внес в Народное собрание Карачаево-Черкесии три кандидатуры на должность руководителя республики. Вместе с Рашидом Темрезовым (от партии "Единая Россия") были предложены кандидатуры руководителя регионального отделения партии "Справедливая Россия - Патриоты - За правду", председателя комитета республиканского заксобрания по национальной политике, внешним связям, делам некоммерческих организаций и СМИ Рената Акбаева и депутата местного парламента, координатора Карачаево-Черкесского регионального отделения ЛДПР Олега Жедяева.
19 сентября 2021 г. депутаты Народного собрания региона вновь избрали Рашида Темрезова главой Карачаево-Черкесии. За него проголосовали все 48 присутствующих на заседании парламентариев. В тот же день состоялась церемония инаугурации избранного главы республики.
Член высшего совета Всероссийской политической партии "Единая Россия".
Награжден орденами Дружбы (2015) и Почета (2021). Имеет Почетную грамоту президента РФ (2017).