Родился 28 сентября 1915 г. (по другим данным - 1913 г.). Местом рождения режиссера обычно указывается Тифлис (ныне Тбилиси, Грузия), но, согласно свидетельству сестры Товстоногова, он родился в Санкт-Петербурге. Его отец, Александр Андреевич, был инженером-железнодорожником, мать, Тамара Григорьевна (девичья фамилия Папиташвили) - певицей. Еще в школьные годы Георгий Товстоногов заинтересовался театром. С конца 1920-х гг. был осветителем, затем актером, ассистентом режиссера в тифлисском Театре юного зрителя.
В 1933 г. поступил в Москве на режиссерский факультет Государственного института театрального искусства (в 1935-1991 гг. вуз носил имя А. В. Луначарского; ныне Российский институт театрального искусства - ГИТИС). Обучался у режиссеров Андрея Лобанова и Алексея Попова, параллельно ставил спектакли в Тифлисе. В 1937 г. отца Георгия Товстоногова арестовали и расстреляли. Георгия отчислили с пятого курса института, однако вскоре восстановили. Он окончил ГИТИС в 1938 г., дипломная работа - постановка "Дети Ванюшина" по пьесе Сергея Найденова (Тбилисский русский драматический театр им. А. С. Грибоедова).
В Театре им. Грибоедова Товстоногов проработал до 1946 г. и поставил 14 спектаклей. В их числе: "Кремлевские куранты" по произведению Николая Погодина, "Школа злословия" по комедии Ричарда Шеридана, "Лёнушка" по пьесе Леонида Леонова, "Собака на сене" по комедии Лопе де Веги. Преподавал в Тбилисском государственном театральном институте им. Шота Руставели (ныне Грузинский государственный университет театра и кинематографии им. Шота Руставели).
В 1947 г. Георгий Товстоногов переехал из Тбилиси в Москву. Ставил спектакли в Московском гастрольном реалистическом театре, Центральном детском театре (ныне Российский академический молодежный театр) и др. В 1949 г. в Ленинграде (ныне Санкт-Петербург) на сцене Театра им. Ленинского комсомола (ныне Театр-фестиваль "Балтийский дом") поставил спектакль "Где-то в Сибири" по повести Ирины Ирошниковой. После успеха постановки был назначен главным режиссером театра, работал на этой должности в 1950-1956 гг., поставил более 20 спектаклей.
В 1956 г. возглавил ленинградский Большой драматический театр (БДТ) им. М. Горького, находившийся на тот момент в кризисе из-за частой смены руководства и отсутствия зрительского интереса к постановкам. Товстоногов руководил БДТ в течение более 30 лет до своей смерти, вывел его в лидеры среди советских театров, сформировал уникальный репертуар и состав актерской труппы. Многие спектакли, созданные режиссером, получили всесоюзную известность. Среди них: "Эзоп" по пьесе Гильерме Фигейредо, "Идиот" по роману Федора Достоевского, "Горе от ума" по произведению Александра Грибоедова, "Пять вечеров" по пьесе Александра Володина, "Варвары", "Мещане" и "На дне" по произведениям Максима Горького, "Три сестры" по пьесе Антона Чехова, "Ревизор" по комедии Николая Гоголя, "История лошади" по повести Льва Толстого "Холстомер".
Георгий Товстоногов также ставил спектакли в некоторых других советских театрах и за рубежом.
С 1958 г. преподавал в Ленинградском государственном институте театра, музыки и кинематографии (ныне Российский государственный институт сценических искусств). С 1960 г. - профессор вуза, с 1970 г. - заведующий кафедрой режиссуры. Доктор искусствоведения (1968).
Избирался депутатом Верховного Совета СССР VII и VIII созывов (1966-1974, от Ленинского избирательного округа Ленинграда).
Георгий Товстоногов скончался 23 мая 1989 г. в Ленинграде на 74-м году жизни. У режиссера произошел сердечный приступ, когда он находился за рулем автомобиля. Похоронен на Тихвинском кладбище.
Народный артист СССР (1957).
Герой Социалистического Труда (1983).
Был награжден тремя орденами Ленина (1967, 1973, 1983), орденом Трудового Красного Знамени (1957).
Лауреат Сталинской премии I и III степеней (1950, 1952), Ленинской премии (1958), Государственной премии СССР в области литературы, искусства и архитектуры (1968, 1978), Государственной премии РСФСР им. К. С. Станиславского (1986).
Почетный гражданин Тбилиси (1983).
Автор ряда книг о методах и задачах режиссуры и театрального искусства.
Был дважды женат. Первая супруга - актриса Саломе Канчели (1921-1985). Сыновья - Александр (1944-2002, театральный режиссер) и Николай (род. 1945). Вторая жена - заслуженная артистка РСФСР Инна Кондратьева (1924-1985). Также сыном Георгия Товстоногова является российский театральный режиссер Вадим Милков (род. 1950). Его матерью была актриса Мария Милкова (1924-1983).