Родился 12 апреля 1981 г. в г. Краснодаре. В 1982 г. его семья переехала на Украину, в г. Донецк.
В 2004 г. с отличием окончил Донбасскую государственную академию строительства и архитектуры по специальности "промышленное и гражданское строительство", в 2005 г. - Донецкий государственный университет управления, в 2017 г. - Донецкую академию управления и государственной службы и Кабардино-Балкарский государственный университет им. Бербекова, в 2018 г. - Донецкое высшее общевойсковое командное училище Вооруженных сил.
С 2001 по 2005 г. - менеджер футбольного клуба "Шахтер", возглавлял движение клуба болельщиков "Шахтера".
Занимал различные посты в ООО "Баустандарт", ООО "Биллиардай", благотворительном фонде "Благосвит" и др.
В 2010-2012 гг. - первый заместитель главы районного совета Петровского района г. Донецка.
В 2012-2014 гг. - генеральный директор торгового дома "Союз кооперации"
После государственного переворота на Украине в феврале 2014 г. на юго-востоке страны начались акции протеста против политики новых властей. Дмитрий Трапезников вернулся в Донецк. Согласно официальной биографии, служил в ополчении.
В сентябре - декабре 2014 г. возглавлял временную администрацию Тельмановского района провозглашенной Донецкой Народной Республики.
С декабря 2014 г. работал в администрации главы ДНР Александра Захарченко. Был первым заместителем руководителя администрации Максима Лещенко, в апреле 2016 г. исполнял обязанности главы администрации. Возглавлял Контрольно-ревизионное управление.
С 2016 г. занимал должность заместителя председателя Совета министров ДНР Александра Захарченко. Руководил Управлением внутренней и внешней политики администрации главы ДНР.
31 августа 2018 г., после гибели в результате теракта главы провозглашенной Донецкой Народной Республики Александра Захарченко, на Дмитрия Трапезникова было возложено временное исполнение обязанностей главы ДНР. 7 сентября генпрокуратура ДНР заявила о незаконности назначения Трапезникова, так как по конституции республики исполнять обязанности главы ДНР должен был стать первый вице-премьер, а Трапезников был вице-премьером. В генпрокуратуре указали, что, согласно закону "О системе органов исполнительной власти ДНР", вследствие смерти председателя Совета министров, должность которого Александр Захарченко совмещал с должностью главы, наступает отставка всего кабинета. Единственным легитимным органов власти ДНР с этого момента является Народный совет ДНР. В тот же день представители Народного совета ДНР назначили врио главы республики председателя парламента Дениса Пушилина.
С 26 сентября 2019 г. депутаты Элистинского городского собрания по предложению руководителя республики Каломыкии Бату Хасикова назначили Дмитрия Трапезникова исполняющим обязанности главы администрации Элисты (сити-менеджером).
3 марта 2020 г. был избран на должность главы администрации (сити-менеджера) Элисты. Его кандидатуру, представленную конкурсной комиссией, поддержали 19 из 23 депутатов, участвовавших в голосовании. В феврале 2022 г. Дмитрий Трапезников написал заявление о досрочном сложении полномочий, 15 февраля того же года его отставку приняли депутаты городского парламента.
С16 февраля 2022 г. - заместитель председателя правительства Республики Калмыкия.
Член партии "Единая Россия" (с сентября 2020 г.).
Награжден орденом Республики ДНР.