Родился 20 мая 1925 г. в Москве в семье авиаконструктора Андрея Туполева (1888-1972) и Юлии Туполевой (1894-1962).
В 1942 г., окончив в эвакуации среднюю школу в Омске, начал работать в конструкторском бюро (ЦКБ-29 НКВД СССР) под руководством своего отца. После возвращения в 1943 г. в Москву поступил в Московский авиационный институт им. Серго Орджоникидзе (ныне Московский авиационный институт - национальный исследовательский университет). Окончив вуз в 1949 г., вернулся в конструкторское бюро Андрея Туполева в Москве на должность ведущего конструктора.
В 1953 г. защитил диссертацию кандидата технических наук. В 1963 г. - доктора технических наук.
В 1953 г. защитил диссертацию на соискание степени кандидата технических наук.
В 1956 г. начал заниматься созданием боевой беспилотной техники для полетов в широком диапазоне сверхзвуковых скоростей, в 1957 г. возглавил отдел "К" по беспилотной технике авиационного завода №156 (с 1966 г. - Московский машиностроительный завод (ММЗ) "Опыт", с 1989 г. - Авиационный научно-технический комплекс имени А.Н. Туполева, ныне - ПАО "Туполев" в составе "Объединенной авиастроительной корпорации", ОАК).
В 1963 г. Алексей Туполев получил ученую степень доктора технических наук за научные труды по новым летательным аппаратам.
В период с 1963 по 1973 гг. - главный конструктор предприятия, заместитель генерального конструктора. С 1973 г., после смерти отца, - генеральный конструктор ММЗ "Опыт".
Принимал участие в создании многих военных самолетов марки "Ту" и их модификаций - Ту-2 (первый полет в 1941), Ту-4 (1947), Ту-70 (1946), Ту-16 (1952); сверхзвукового тяжелого беспилотного самолета-снаряда Ту-121, оперативных сверхзвуковых беспилотных разведчиков Ту-143 "Рейс" (1970) и Ту-141 "Стриж" (1973); сверхзвукового стратегического бомбардировщика-ракетоносца Ту-160 (1981). Участвовал в разработке пассажирских самолетов Ту-104 (1955), Ту-114 (1957), Ту-124 (1960), Ту-134 (1963), Ту-154Б (1975), Ту-154М (1982). Руководил созданием сверхзвукового пассажирского лайнера Ту-144 (1968), экспериментального самолета Ту-155 (1988, использовал криогенное топливо), пассажирского лайнера Ту-204 (1989). Генеральный конструктор одноступенчатого многоразового воздушно-космического самолета (ВКС) Ту-2000 (1986-1995, проект был заморожен из-за отсутствия госфинансирования).
В 1978-1985 гг. – заведующий кафедрой "Аэродинамика и конструкция летательных аппаратов" Московского авиационного технологического института (позднее МАТИ - Российский государственный технологический университет им. К. Э. Циолковского, в 2015 г. влился в состав МАИ).
15 марта 1979 г. был избран членом-корреспондентом Академии наук (АН) СССР (Отделение механики и процессов управления, специальность "самолетостроение"). С 15 марта 1984 г. - академик АН СССР по специальности "машиностроение, в том числе транспортное машиностроение". С 1991 г. - академик Российской академии наук.
Был депутатом Совета Национальностей 9-го (1974-1979), 10-го (1979-1984) и 11-го (1984-1989) созывов Верховного Совета СССР, народный депутат СССР.
В 1995 г. участвовал в выборах в Государственную думу РФ второго созыва в составе блока "Тихонов - Туполев - Тихонов" (блок набрал 0,15% голосов, мест в парламенте не получил).
Алексей Туполев скончался 12 мая 2001 г. Похоронен на Новодевичьем кладбище в Москве.
Герой Социалистического Труда (1972). Награжден тремя орденами Ленина, орденом Трудового Красного Знамени, орденом "Знак Почета". Лауреат Ленинской премии (1980), Государственной премии СССР (1967).
Был женат на Майе Александровне Туполевой. Сын Андрей (род. 1961), кандидат технических наук, советник генерального директора ПАО "Туполев". Дочь Татьяна (род. 1963), врач-вирусолог, доктор медицинских наук.