Родился 10 октября 1946 г. в пос. Деденево Дмитровского района Московской области.
В 1973 г. окончил факультет физического воспитания Московского областного педагогического института им. Н. К. Крупской (ныне - Московский государственный областной университет) по специальности "тренер-преподаватель". В 1971-1975 гг. прошел курс обучения в горнолыжной школе в г. Кирхбергу Пеле Шотепек в Австрии, получил лицензию профессионального инструктора и тренера.
С детства занимался в специализированной горнолыжной школе, принимал участие во всесоюзных и всероссийских соревнованиях. В 1962 г. вошел в состав сборной СССР по горнолыжному спорту.
Одновременно занимался футболом, в составе любительской команды стал победителем первенства СССР среди коллективов физической культуры, был удостоен звания мастера спорта СССР по футболу.
В 1962-1965 гг. - ученик токаря, токарь на Дмитровском электромеханическом заводе, в 1965-1966 гг. работал лаборантом Лобненского индустриального техникума.
В 1966-1969 гг. - инструктор на горнолыжной базе Московского областного совета добровольного спортивного общества (ДСО) "Труд", в 1969-1970 гг. - директор горнолыжной базы.
С 1970 г. был тренером, старшим тренером детской юношеской спортивной школы по горнолыжному спорту ДСО "Труд".
С 1971 г. - старший тренер по горнолыжному спорту Московской области.
В 1972-1973 гг. служил в Советской армии.
В 1973-1975 гг. - тренер-преподаватель Центральной школы высшего спортивного мастерства (Московская область). Участвовал в подготовке и проведении международных соревнований по горным лыжам.
1975-1983 гг. - старший тренер по горнолыжному спорту Спорткомитета СССР. В 1976 г. был назначен главным тренером сборной команды СССР по горнолыжному спорту. В 1981 г. мужская горнолыжная сборная СССР добилась крупнейшего успеха в своей истории, выиграв пять этапов Кубка мира в течение месяца.
По итогам зимнего сезона 1980-1981 гг. Леонид Тягачев был признан лучшим тренером ФИС (Международная федерация лыжного спорта; Fédération Internationale de Ski, FIS) по горнолыжному спорту.
В 1983 г. по решению Госкомспорта Леонид Тягачев был направлен в Узбекистан, где тренировал сборную команду Узбекской ССР по горным лыжам, был советником республиканского правительства по вопросам спорта, туризма и отдыха.
В 1985 г. вернулся в Москву. До 1990 г. - тренер по горным лыжам Спорткомитета РСФСР, в 1990-1992 гг. - главный тренер сборной СССР, в 1992-1996 гг. - главный тренер сборной команды России по горным лыжам.
С 1985 г. - президент Федерации горнолыжного спорта, с июля 2006 г. - почетный президент Федерации горнолыжного спорта и сноуборда России.
В 1996-1999 гг. - председатель Государственного комитета РФ по физической культуре и туризму (Госкомспорт). Был назначен главой спортивного ведомства 2 ноября 1996 г. в правительстве Виктора Черномырдина. 12 ноября 1999 г. официально отправлен в отставку распоряжением премьера Владимира Путина "по сокращению штата в связи с преобразованием Государственного комитета РФ по физической культуре и туризму в Министерство РФ по физической культуре, спорту и туризму".
В 1999-2001 гг. - первый вице-президент Олимпийского комитета России (ОКР).
С 18 июля 2001 г. по 23 марта 2010 г. - президент Олимпийского комитета России (переизбирался в 2001, 2005 и 2009 гг.). Сменил на посту главы ОКР Виталия Смирнова, перешедшего в Международный олимпийский комитет. Покинул должность после провального выступления российской олимпийской сборной на зимних Играх в канадском Ванкувере (3 золотые медали, 11 место в общем зачете): подал заявление от отставке 4 марта 2010 г., оно было принято исполкомом ОКР 23 марта того же года.
В начале 2000-х гг. организовал в Деденево "Горнолыжный клуб Леонида Тягачева", среди соучредителей которого - супруга и дочери Леонида Тячачева.
В 2006 г. стал вице-президентом Международного союза лыжного спорта.
С апреля 2007 г. возглавлял наблюдательный совет по вопросам реализации федеральной целевой программы "Развитие города Сочи как горноклиматического курорта (2006-2014 гг.)".
С июля 2007 г. по сентябрь 2018 г. - член Совета Федерации РФ, представитель от законодательного органа государственной власти Ростовской области. С декабря 2008 г. по июнь 2010 г. - заместитель председателя комиссии СФ по физической культуре, спорту и развитию олимпийского движения, с декабря 2011 г. по ноябрь 2016 г. - заместитель председателя комитета по международным делам. Полномочия сенатора прекращены 26 сентября 2018 г.
С мая 2010 г. - почетный президент Олимпийского комитета России.
8 сентября 2013 г. избирался депутатом Законодательного собрания Ростовской области V созыва по списку партии "Единая Россия". После выборов отказался от мандата.
Заместитель председателя попечительского совета автономной некоммерческой организации "Российский международный олимпийский университет" (председатель совета - президент РФ Владимир Путин).
Общая сумма декларированного дохода за 2017 г. составила 4 млн 944 тыс. руб.
Награжден орденами Почета (1999), Дружбы народов (1994), "За заслуги перед Отечеством" III и IV степеней (2005, 2001).
Заслуженный работник физической культуры РФ (2007).
Мастер спорта СССР. Заслуженный тренер СССР и России.
Имеет Серебряный Олимпийский орден (2006; МОК), награжден Большим Почетным золотым знаком со звездой за заслуги перед Австрийской Республикой (2002), Большим орденом Тирольского орла (2006; Австрия).
Лауреат национальной премии "Россиянин года" (2006, 2008).
В 2012 г. снял фильм, обучающий катанию на горных лыжах, с участием президента РФ Владимира Путина.