Родился 5 марта 1919 г. в дер. Малое Петрино (Вязниковский уезд Владимирской губернии РСФСР; ныне - в черте г. Вязники Владимирской области РФ) в семье Ивана Николаевича Фатьянова и Евдокии Васильевны Меньшовой. До 1917 г. отец управлял "Торговым домом Фатьяновых в Вязниках". После революции имущество семьи было национализировано, в 1929 г. они переехали в пос. Лосиноостровск (Московская область, ныне - в черте Москвы). В Лосиноостровске Алексей Фатьянов занимался в драматическом классе местной музыкальной школы, писал стихи.
В 1935 г., окончив среднюю школу, поступил в театральную студию актера и педагога Алексея Дикого при Московском театре им. ВЦСПС. В 1936 г., после ее закрытия, перешел в студию при Центральном театре Красной армии (ЦТКА; ныне - Центральный академический театр Российской армии) под руководством Алексея Попова.
В 1937 г., окончив студию при ЦТКА, вместе с коллективом театра был командирован на Дальний Восток для выступлений перед советскими пограничниками.
В 1938-1940 гг. служил в Центральном театре Красной армии.
В мае 1940 г. Алексей Фатьянов был призван на военную службу и направлен в Елецкий полк железнодорожных войск Орловского военного округа. Принимал участие в армейской самодеятельности. В июле того же года был переведен в ансамбль Орловского военного округа на должность режиссера-постановщика. Публиковал стихи в окружной военной газете и "Орловской правде".
21 июня 1941 г. вместе с ансамблем выступал в одном из авиационных гарнизонов Брянской области. После начала Великой Отечественной войны обратился с просьбой о направлении в действующую армию, однако его запрос был отклонен. На протяжении 1941 г. Фатьянов выступал с ансамблем в воинских частях и на фронтах Подмосковья.
В 1942 г. коллектив был преобразован в Ансамбль красноармейской песни и пляски Южно-Уральского военного округа и отведен в г. Чкалов (ныне - Оренбург). Там состоялась встреча Алексея Фатьянова и эвакуированного из Ленинграда композитора Василия Соловьева-Седого (1907-1979). Знакомство положило начало творческому сотрудничеству. В том же году широкую известность получила их песня "На солнечной поляночке" ("Тальяночка"). В 1943 г. были написаны песни "Звездочка" и "Баллада о Матросове".
В июле 1944 г. Алексей Фатьянов был зачислен заведующим литературной частью в краснознаменный ансамбль песни и пляски СССР под управлением Александра Александрова (ныне - Академический ансамбль песни и пляски Российской Армии им. А. В. Александрова). В конце августа 1944 г. покинул коллектив вследствие личного конфликта с Александровым. Был направлен в действующую армию. Приступил к работе в качестве фронтового корреспондента газеты 6-й гвардейской танковой армии Второго Украинского фронта "На разгром врага". 25 декабря 1944 г. при занятии советскими войсками г. Секешфехервар (Венгрия) Алексей Фатьянов был ранен, оправлен в отпуск в Москву. В конце декабря 1944 г. вновь встретился в столице с Василием Соловьевым-Седым и показал ему свое стихотворение "Соловьи" ("Соловьи, соловьи, не тревожьте солдат"). В результате была написана одна из самых популярных песен Фатьянова и Соловьева-Седого.
В январе 1945 г. Алексей Фатьянов вернулся в Венгрию. В апреле того же года стал артистом краснознаменного ансамбля песни и пляски Балтийского флота. В том же месяце получил воинское звание сержанта, в феврале 1946 г. был демобилизован.
В 1946 г. композитор Никита Богословский на стихи Алексея Фатьянова сочинил песню "Три года ты мне снилась" для второй серии фильма Леонида Лукова "Большая жизнь" (первая вышла в 1939 г.). 4 сентября того же года было издано постановление Оргбюро ЦК ВКП(б), в котором отмечалось, что фильм "порочен в идейно-политическом и крайне слаб в художественном отношении", а прозвучавшие в нем песни "проникнуты кабацкой меланхолией и чужды советским людям". Кинокартина была запрещена (премьера фильма состоялась лишь в 1958 г.), а творчество Фатьянова подвергнуто негативным оценкам в советской печати.
Несмотря на официозную критику, Алексей Фатьянов оставался одним из наиболее популярных поэтов военных и первых послевоенных лет. Песни на его стихи звучали на радио, в 1947 г. он был принят в Союз писателей СССР (впоследствии членство неоднократно приостанавливалось). Помимо Василия Соловьева-Седого ("Давно мы дома не были", "Перелетные птицы", "Поет гармонь за Волгой", "Где же вы теперь, друзья-однополчане", "Стали ночи светлыми" и др., всего около 80 песен), автор сотрудничал с Владимиром Сорокиным ("Вспомним походы", "Ждут невесты женихов", "Возвращение"), Борисом Мокроусовым ("По мосткам тесовым", "Мы люди большого полета", "Хвастать, милая, не стану") и другими композиторами.
Песни на стихи Алексея Фатьянова прозвучали в более чем 15 фильмах. В их числе: "Небесный тихоход" (1945, режиссер Семен Тимошенко; песня "Первым делом - самолеты"), "Голубые дороги" (1947, Владимир Браун; "Золотые огоньки"), "Солдат Иван Бровкин" (1955, Иван Лукинский; "Шла с ученья третья рота" и "Ромашка моя"), "Без вести пропавший" (1956, Исаак Шмарук; "Караваны птиц…"), "Весна на Заречной улице" (1956, Феликс Миронер и Марлен Хуциев; "Когда весна придет, не знаю"), "Дом, в котором я живу" (1957, Лев Кулиджанов и Яков Сегель; "Тишина за Рогожской заставою…"), "Иван Бровкин на целине" (1958, Иван Лукинский; "Степи оренбургские", "На трудных дорогах", "Как же ехать мне…").
В общей сложности Алексей Фатьянов написал тексты более 200 песен. В 1955 г. во Владимирском книжном издательстве вышел единственный прижизненный сборник произведений поэта - "Поет гармонь…".
Алексей Фатьянов скончался 13 ноября 1959 г. в Москве на 41-м году жизни. Причиной смерти стал разрыв аорты. Поэт похоронен на столичном Ваганьковском кладбище.
Он был награжден орденами Красной Звезды (1944), "За заслуги перед Отечеством" IV степени (посмертно, 1995), медалями "За отвагу" (1945) и "За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941-1945 гг.".
Был женат на Галине Николаевне Калашниковой (1925-2002). Имел дочь Алену и сына Никиту.