Родился 15 октября 1905 г. в Москве. Его отец, Сергей Карлович, из обрусевших немцев Херсонской губернии, был железнодорожным служащим. Мать, Анна Михайловна, - домохозяйкой. В 1918 г. отца перевели в Вологодскую губернию, а затем на Изюмские паровозоремонтные мастерские в г. Харьков, туда же переехала вся семья.
В 1920 г. Евгений Фельснер поступил в Харьковский железнодорожный техникум. Однако после гибели отца при испытаниях паровоза семья вернулась в Москву, и Евгений перевелся в Московский железнодорожный техникум (ныне Московский колледж транспорта), который окончил в 1926 г. со званием техника 1-й категории механической специальности.
В 1926-1927 гг. работал теплотехником в Научно-техническом комитете Народного комиссариата путей сообщения. В 1927 г. был помощником машиниста на Северной железной дороге.
В январе 1928 г. перевелся на государственный авиационный завод №22 (Москва) младшим инженером - как он сам указал в анкете, "имея большое стремление работать в авиационной промышленности". С августа 1929 г. был сотрудником бюро морского самолетостроения Всесоюзного авиационного общества (МОС ВАО), с июня 1930 г. - бюро новых конструкций (БНК) ВАО завода №22, где работал под руководством французских специалистов. В январе 1930 г. занимал пост заведующего секцией управления и моторной.
В 1933 г. Евгений Фельснер перевелся на авиазавод №39 (Москва) начальником моторной секции, в том же году занял должность старшего инженера в конструкторском отделе опытного самолетостроения (КОСОС) Центрального аэрогидродинамического института (ЦАГИ, ныне в г. Жуковский Московской обл.). Входил в бригаду №3 ("Легкие самолеты") под руководством авиаконструктора Павла Сухого. Участвовал в создании самолета АНТ-25 (РД, "Рекорд дальности", 1933) дальнего бомбардировщика ДБ-2 (1935), боевого многоцелевого самолета Су-2/ББ-1 (1937), еще одной рекордной машины АНТ-37-бис "Родина" (1938) и др.
В 1939 г. КОСОС был выделен из ЦАГИ и переведен в Харьков на авиазавод №135. Там Евгений Фельснер был заместителем главного конструктора по винто-моторной группе. В 1940 г. Павел Сухой возглавил конструкторское бюро (КБ) авиазавода №289, базировавшегося на ряде предприятий в Москве и Подмосковье. С октября 1941 г. Фельснер занимал пост начальника летно-испытательной станции (ЛИС) завода №289, к тому времени эвакуированного в г. Молотов (ныне Пермь). Под руководством Евгения Фельснера в годы Великой Отечественной войны проводились испытания самолета Су-2 с разными моторами, Су-1 с турбокомпрессорами, штурмовиков Су-6 и Су-8 и др.
В 1945 г. московские авиазаводы №134 и №289 были объединены под номером 134, Фельснер стал помощником главного конструктора (эту должность занимал Павел Сухой) по летным испытаниям, одновременно оставаясь начальником ЛИС.
В 1949 г. конструкторское бюро Сухого было расформировано после потери в испытательном полете опытного истребителя-перехватчика Су-15. После этого Евгений Фельснер сменил несколько мест работы в авиационной промышленности - был заместителем главного конструктора на московском авиационном заводе №240, затем на авиазаводе № 23.
Весной 1953 г. Павел Сухой снова стал главным конструктором восстановленного бюро (в разные годы носило наименования ОКБ-51, Московский машиностроительный завод "Кулон, ММЗ им. П. О. Сухого, ныне филиал ПАО "Компания "Сухой" "ОКБ Сухого"). Тогда же Евгений Фельснер вернулся на пост его заместителя. В 1957 г. Сухой стал генеральным, Фельснер - главным конструктором ОКБ-51. Курировал работы по силовым установкам, топливной системе, управлению самолетом и двигателем, гидравлике и шасси.
В 1965 г. Евгений Фельснер был назначен главным конструктором по теме Т-6 (Су-24) - первого всепогодного и круглосуточного ударного самолета тактической авиации в Военно-воздушных силах СССР. На машине был внедрен целый ряд новых для советской оборонной промышленности технических решений. По состоянию на 2020 г. модернизированные самолеты этого типа продолжают состоять на вооружении Воздушно-космических сил РФ.
Авиаконструктор скончался 19 апреля 1989 г. в Москве в возрасте 83 лет. Похоронен на Калитниковском кладбище столицы.
В 1984 г. за работы над модификацией Су-24М закрытым указом Президиума Верховного совета СССР Евгений Фельснер был удостоен почетного звания Героя Социалистического Труда.
Был награжден орденами Ленина (1957, 1984), Октябрьской Революции (1971), Отечественной войны II степени (1947), Трудового Красного Знамени (1945), медалями. Лауреат Ленинской премии (1967, "за создание образцов новейшей техники") и Государственной премий (1976, за работы по Су-24).