Родился 18 декабря 1971 г. в Кривом Роге (Днепропетровская область Украинской ССР, ныне - Украина).
В 1993 г. окончил в Минске Академию физического воспитания и спорта Республики Беларусь (ныне Белорусский государственный университет физической культуры) по специальности "Преподаватель физической культуры и тренер по шахматам".
Занимался шахматами в детско-юношеской спортивной школе (ДЮСШ) №9 в Днепропетровске (Украинская ССР, ныне Днепр, Украина). В середине 1980-х гг. был приглашен в московский шахматный интернат, однако, отучившись одну четверть у гроссмейстера Михаила Юдовича, вернулся в Днепропетровск. Участвовал в турнирах школьных команд "Белая ладья". Выполнил норматив кандидата в мастера спорта по шахматам на соревнованиях в Одессе (Украинская ССР, ныне Украина).
Обучаясь в университете, познакомился с Борисом Гельфандом и Ильей Смириным, впоследствии ставшими известными гроссмейстерами.
В 1996 г. совместно с партнерами Константином Николаевым и Никитой Мишиным основал экспедиторскую компанию ЗАО "Северстальтранс", с момента создания является членом совета директоров и исполнительным директором компании. В 2008 г. "Северстальтранс" была переименована в "Н-Транс".
В 2015 г. Андрей Филатов консолидировал активы в ООО "Инвестиционная компания "Тулома" (создано в 2013 г.), стал председателем совета директоров.
В 2017 г. занял 109-е место в рейтинге журнала Forbes "Двести богатейших бизнесменов России". Его состояние было оценено в 950 млн долларов США.
Андрей Филатов был инициатором и спонсором проведения в Москве в Инженерном корпусе Государственной Третьяковской галереи матча за звание чемпиона мира по шахматам 2012 г. между индийцем Вишванатаном Анандом и израильтянином Борисом Гельфандом. За организацию матча вместе с Геннадием Тимченко был удостоен премии "Каисса" Шахматной федерации Москвы. Также стал инициатором и спонсором проведения весной 2013 г. в Париже (Франция) и Санкт-Петербурге международного шахматного турнира "Мемориал Алехина" с участием сильнейших гроссмейстеров мира.
1 февраля 2014 г. на XXII съезде Российской шахматной федерации (РШФ) был избран на четырехлетний срок ее президентом. Сменил на этом посту Аркадия Дворковича. В мае 2014 г. был выдвинут РШФ на пост вице-президента Международной шахматной федерации (Federation Internationale des Echecs, FIDE, ФИДЕ). 13 августа избран на должность на конгрессе ФИДЕ.
В качестве старшего тренера возглавлял мужскую сборную России по шахматам на Шахматной олимпиаде (2016, Баку, Азербайджан) и на командном чемпионате мира (2017, Ханты-Мансийск). На этих турнирах команда заняла третье и второе места соответственно.
3 февраля 2018 г. переизбран на пост президента РШФ. На пост президента РШФ также претендовали член наблюдательного совета РШФ от Ингушетии Заурбек Мальсагов и ведущий научный сотрудник института экономики РАН Иван Стариков. Президент ФИДЕ Кирсан Илюмжинов, чемпион СССР по прыжкам на лыжах с трамплина Эдуард Субоч и президент шахматных федераций Ростовской и Московской областей Сергей Нестеров в ходе выборов сняли свои кандидатуры. В итоге за Филатова проголосовали 56 человек, за Старикова - 14, за Мальсагова - 1.
Известен благотворительной деятельностью. Занимается поддержкой шахмат в России и Украине. Оказывает финансовую поддержку ДЮСШ №9 в Днепропетровске. В память о своем учителе Александре Синицине основал международный шахматный фестиваль "Мемориал Синицина", который проходит в Днепре с 2001 г. Финансировал восстановление надгробного памятника чемпиону мира по шахматам Александру Алехину в Париже. Помогает Морозовской детской клинической больнице в Москве.
Член Экономического совета Франко-российской торгово-промышленной палаты.
С мая 2023 г. - вице-президент Афро-азиатской шахматной ассоциации.
Награжден орденами Дружбы (2019), Почета (2021) и Александра Невского (2024), медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени (2016). Отмечен Почетной грамотой президента РФ (2011).
Кавалер ордена Почетного легиона (Франция, 2016).
Почетный член Международной шахматной федерации (2021).
Признан лучшим спортивным менеджером России 2014 г. по итогам опроса журналистов.
Женат, имеет пятерых детей.
Коллекционирует произведения искусства. В 2012 г. основал Арт-фонд семьи Филатовых с целью коллекционирования и экспонирования работ в жанре социалистического реализма. Фонд систематически приобретал произведения искусства, созданные в 1917-1991 гг. С 2014 г. фонд работает под брендом ART RUSSE.