Родился 1 мая 1952 г. в гор. Тетри-Цкаро Грузинской ССР (ныне – Грузия) в семье служащего.
В 1974 г. с отличием окончил Тбилисское артиллерийское командное краснознаменное училище. В 1985 г. – командный факультет Ленинградской военной артиллерийской академии имени М.И. Калинина (ныне – Михайловская военная артиллерийская академия).
По окончании училища был назначен на должность командира огневого взвода артиллерийского полка.
С 1975 г. занимал должность командира огневого взвода - старшего офицера мотострелковой дивизии Дальневосточного военного округа.
В 1976-1982 гг. проходил службу в должностях командира батареи, начальника штаба – заместителя командира артиллерийского дивизиона, командира отдельного противотанкового артиллерийского дивизиона Дальневосточного военного округа.
В 1985 г. после учебы в академии был назначен начальником штаба ракетных войск и артиллерии танковой дивизии Белорусского военного округа.
В 1987-1989 гг. служил в Афганистане в должности начальника штаба ракетных войск и артиллерии 5-й гвардейской мотострелковой дивизии 40-й армии Туркестанского военного округа.
В октябре 1989 г. был назначен на должность командира артиллерийской бригады танковой армии Белорусского военного округа.
В апреле 1992 г. приказом министра обороны Республики Белоруссия был откомандирован в распоряжение Министерства обороны Республики Армения и назначен командиром 2-го мотострелкового полка.
Принимал участие в боевых действиях на границе Республики Армения и Нагорного Карабаха.
В 1992-2000 гг. занимал должность начальника Управления пограничных войск – заместителя командующего Вооруженными силами Армении.
В 1993-1994 г. руководил Тавушской, в 1994-1995 гг. – Горисской мотострелковыми бригадами.
В 1995 г. был командующим оперативного направления.
В 1996-1997 г. - командир 1-го армейского корпуса, в 1997-2000 гг. – командир 4-го армейского корпуса.
Занимал также должность заместителя начальника Главного штаба Вооруженных Сил Республики Армения.
С марта 2000 г. по апрель 2008 г. – заместитель министра обороны Республики Армения.
С апреля 2008 г. по январь 2009 г. был начальником Главного штаба Вооруженных сил – первым заместителем министра обороны Республики Армения.
С января 2009 г. по октябрь 2016 г. – начальник Главного штаба Вооруженных сил Армении.
С сентября 2008 г. по декабрь 2010 г. был начальником Объединенного штаба Организации Договора о коллективной безопасности (ОДКБ).
С 3 октября 2016 г. по 2 мая 2017 г. занимал пост секретаря Совета национальной безопасности Республики Армения.
14 апреля 2017 г. в Бишкеке на неформальной встрече глав государств ОДКБ Юрий Хачатуров был назначен генеральным секретарем организации на трехлетний срок, вступил в должность 2 мая 2017 г. В течение 13 лет (2003-2016 гг.) этот пост занимал Николай Бордюжа.
26 июля 2018 г. Специальная следственная служба Армении предъявила Юрию Хачатурову обвинение в свержении конституционного порядка после президентских выборов в 2008 г. и обратилась в суд для выбора ареста в качестве меры пресечения. Сам генсек ОДКБ заявил, что не признает себя виновным по предъявленным обвинениям. 27 июля Ереванский городской суд отказал в выдаче санкции на арест Хачатурова, решив выпустить его под залог в размере 5 млн драмов (порядка 10 тыс. долларов). На следующий день, после выплаты залога, Юрий Хачатуров был освобожден под подписку о невыезде. Роль Хачатурова в событиях 2008 г. следователи не уточняют, однако известно, что 1 марта 2008 г. Хачатуров командовал ереванским гарнизоном ВС Армении.
2 ноября 2018 г. по инициативе армянской стороны досрочно освобожден от должности генсека ОДКБ.
Генерал-полковник (2008).
Награжден орденами Красной Звезды (дважды), "За службу Родине в Вооруженных Силах СССР" III степени, "Звезда" II степени (Афганистан), "Боевой крест" (Армения), "Вардан Мамиконян", "Месроп Маштоц" и другими орденами и медалями.
Женат, имеет троих сыновей.