Родился 10 декабря 1970 г. в ауле Егерухай Кошехабльского района Адыгейской АССР (ныне Республика Адыгея).
В 1992 г. окончил Адыгейский государственный педагогический институт (в 1993 г. реорганизован в Адыгейский государственный университет, АГУ) по специальности "физическое воспитание", в 2004 г. - юридический факультет АГУ по специальности "юриспруденция".
В середине 1980-х гг. Мурат Хасанов начал заниматься дзюдо и самбо в ауле Егерухай у тренера Шихама Берзегова. Позднее перешел в специализированную детско-юношескую спортивную школу олимпийского резерва г. Майкопа, тренировался под руководством Сергея Себелева и Виктора Невзорова. С 1993 г. его наставником был заслуженный тренер СССР Арамбий Хапай. Спортсмен выступал в весовой категории свыше 100 кг.
Мурат Хасанов является одним из наиболее титулованных самбистов мира. Он 11 раз выигрывал чемпионат мира (1994, 1995, 1998-2006), восемь раз становился обладателем Кубка мира по самбо. Семь раз побеждал на чемпионате Европы, 19 раз - на чемпионате России. В 1999 г. также стал чемпионом России по дзюдо.
В 2006 г. завершил спортивную карьеру.
С 17 января 2007 г. по 27 сентября 2016 г. занимал должность председателя Комитета Республики Адыгея по физической культуре и спорту.
Член Всероссийской политической партии "Единая Россия", член политического совета Адыгейского регионального отделения партии.
С 2016 по 2021 г. - депутат Государственной думы РФ VII созыва. Участвовал в парламентских выборах 18 сентября 2016 г. в составе списка кандидатов от партии "Единая Россия" (под вторым номером региональной группы №32, Адыгея). По итогам распределения мандатов место в Думе от региональной группы получил ее первый номер - глава Республики Адыгея Аслан Тхакушинов, однако он отказался от места в палате парламента. 28 сентября того же года ЦИК передал Мурату Хасанову освободившийся мандат и 30 сентября зарегистрировал его депутатом Госдумы VII созыва. Мурат Хасанов является членом фракции "Единая Россия", работает в составе Комитета Госдумы по физической культуре, спорту, туризму и делам молодежи.
С 2021 г. - депутат Государственной думы РФ VIII созыва. Участвовал в выборах в Госдуму 19 сентября 2021 г. по списку партии "Единая Россия" (второй номер региональной группы №49, Республика Адыгея). По итогам распределения мест в Госдуму не прошел, однако 29 сентября 2021 г. получил вакантный депутатский мандат по списку партии.
Вице-президент, член исполкома Всероссийской федерации самбо.
Заместитель председателя Совета при главе Республики Адыгея по развитию физической культуры и спорта (с 2018 г.).
Президент региональной общественной организации "Олимпийский совет Республики Адыгея".
Член попечительского совета регионального центра выявления и поддержки одаренных детей "Полярис-Адыгея" (г. Майкоп).
Награжден орденом Дружбы (2003), а также медалью "Слава Адыгеи" (1999). Отмечен благодарностью правительства РФ (2013).
Заслуженный мастер спорта по самбо (1995), мастер спорта международного класса по дзюдо (1994).
Заслуженный работник физической культуры РФ (2013).