Родилась 8 сентября 1919 г. в Астрахани в семье Василия Васильевича (1900-1958) и Екатерины Лукиничны (1900-1982) Целиковских. Отец - дирижер и педагог, народный артист РСФСР. Мать имела вокальное образование.
С 1925 г. Людмила Целиковская проживала с родителями в Москве. В 1930-е гг. училась на фортепианном отделении Детского музыкального техникума им. Гнесиных.
В 1941 г. окончила в Москве Театральное училище им. Б. В. Щукина (ныне - Театральный институт им. Бориса Щукина при Государственном академическом театре им. Евгения Вахтангова).
В 1941-1992 гг. Людмила Целиковская была актрисой Государственного академического театра им. Евгения Вахтангова. Исполняла роли в спектаклях: "Лев Гурыч Синичкин" по водевилю Дмитрия Ленского, "Ромео и Джульетта" и "Много шума из ничего" по пьесам Уильяма Шекспира, "Соломенная шляпка" по водевилю Эжена Лабиша, "Слуга двух господ" по комедии Карло Гольдони, "Идиот" по роману Федора Достоевского, "Фома Гордеев" по произведению Максима Горького, "Живой труп" по пьесе Льва Толстого.
В середине 1960-х гг. принимала участие в становлении Московского театра на Таганке, будучи гражданской женой его главного режиссера Юрия Любимова. Вместе с ним написала пьесу "Товарищ, верь...". Она была основана на стихах и письмах поэта Александра Пушкина, документах и воспоминаниям о нем. Премьера одноименного спектакля состоялась в Театре на Таганке в 1973 г.
Людмила Целиковская была широко известна в качестве киноактрисы. Дебютной для нее стала роль пионервожатой Вали в детском приключенческом фильме "Молодые капитаны" (1939, режиссеры Александр Андриевский и Юрий Леонтьев). Среди наиболее известных киноработ: Сима Воронова в музыкальной комедии "Антон Иванович сердится" (1941, Александр Ивановский), Шура Мурашова в комедии "Сердца четырех" (1941, премьера - 1945, Константин Юдин), Наташа Куликова в фильме "Воздушный извозчик" (1943, Герберт Раппапорт), царица Анастасия Романовна в первой серии исторического фильма "Иван Грозный" (1942-1944; премьера - 1945, Сергей Эйзенштейн), Лариса Левкоева в комедии "Мы с вами где-то встречались" (1954, Николай Досталь и Андрей Тутышкин), Ольга Дымова в экранизации рассказа Антона Чехова "Попрыгунья" (1955, Самсон Самсонов). Последняя роль в кино - Ксения Львовна Замятина в фильме "Репетитор" по пьесе Георгия Полонского (1987, Леонид Нечаев). В общей сложности Людмила Целиковская снялась в более чем 20 художественных фильмах и фильмах-спектаклях.
Людмила Целиковская скончалась 4 июля 1992 г. в Москве на 73-м году жизни от онкологического заболевания. Похоронена на столичном Новодевичьем кладбище.
Народная артистка РСФСР (1963).
Была награждена орденом Трудового Красного Знамени (1990), медалью "За трудовую доблесть" (1946).
Актриса была четыре раза официально замужем. Первый супруг - актер Юрий Алексеев-Месхиев (1917-1946), второй - писатель Борис Войтехов (1911-1975). Третьим мужем был народный артист СССР Михаил Жаров (1899-1981), четвертым - архитектор Каро Алабян (1897-1959). От брака с ним - сын Александр Алабян (род. 1949). В 1960-1975 гг. Людмила Целиковская состояла в фактическом браке с режиссером Юрием Любимовым (1917-2014).