Родился 7 июля 1965 г. в г. Новгороде (ныне – Великий Новгород).
В 1988 г. окончил Ленинградское высшее инженерно-морское училище им. адмирала С. О. Макарова по специальности "судовождение на морских путях", в 1997 и 2002 г. – Академию народного хозяйства при правительстве РФ (ныне - Российская академия государственной службы и народного хозяйства при президенте РФ) по специальностям "экономика и управление на предприятии" и "экономика и государственные финансы". Также проходил обучение в бизнес-школе университета г. Дарэм (Великобритания) и в Маастрихтской школе менеджмента (Нидерланды).
Был матросом второго класса на теплоходе "Сунтар" Северо-восточного управления морского флота (п. Тикси, Якутия).
В 1988-1993 гг. работал на судах Балтийского морского пароходства и компании "Юником" (Кипр). Занимал должности четвертого, третьего, второго помощника капитана.
В 1993-1996 гг. был коммерческим директором, начальником коммерческого центра производственного объединения "Квант". Представлял интересы судовладельцев на немецких судостроительных верфях.
С 1996 по 2008 г. работал в Счетной палате РФ, был начальником инспекции, курировавшей транспортную отрасль. Руководил проверками Минтранса России, Федерального агентства морского и речного флота, предприятий и организаций морского и речного транспорта, включая судоходные компании.
С января по июль 2008 г. занимал пост заместителя генерального директора ОАО "Совкомфлот" Сергея Франка, принимал участие в интеграции ОАО "Новошип" (Новороссийское морское пароходство) и ОАО "Совкомфлот".
С июля 2008 г. по октябрь 2009 г. - первый вице-президент Объединенной судостроительной корпорации.
Затем вернулся в "Совкомфлот" на должность заместителя генерального директора - начальника отдела внутреннего аудита. До 2011 г. возглавлял ревизионную комиссию ОАО "Новошип".
С 2011 г. - член совета директоров ОАО "Новошип", председатель комитета по аудиту.
С октября 2012 г. по август 2018 г. - президент ПАО "Новошип". Сменил на этом посту Игоря Тонковидова.
С 2014 г. - член совета директоров акционерного общества "Морпорт Сочи" (входит в группу компаний "Совкомфлот").
С 2 августа 2018 г. занимал долность заместителя министра транспорта РФ - руководителя Федерального агентства морского и речного транспорта (Росморречфлот). Сменил на этом посту Виктора Олерского.
15 ноября 2019 г. постановлением правитеьства РФ посты заместителя министра транспорта и руководителя Росморречфлота, объединенные в 2016 г., были разделены. 26 ноября 2019 г. Юрий Цветков был утвержден заместителем министра транспорта РФ (ведомство возглавляет Евгений Дитрих). Освобожден от должности по собственной просьбе 12 января 2021 г.
Сумма декларированного дохода за 2018 г. составила 133 млн 807 тыс. руб., супруги - 12 млн 401 тыс. руб.
Действительный государственный советник РФ II класса (2019).
Отмечен благодарностью президента РФ (2014).