Родился 15 июля 1979 г. в Москве.
В 2001 г. окончил Военный университет Министерства обороны РФ, в 2006 г. - Московский институт международного бизнеса при Всероссийской академии внешней торговли Министерства экономического развития РФ. В 2014 г. получил диплом Российской академии народного хозяйства и государственной службы при президенте РФ по программе "мастер делового администрирования".
Выпускник первого потока т. н. школы губернаторов. Программа подготовки кадрового управленческого резерва государственной службы была запущена в июне 2017 г. на базе Высшей школы государственного управления (ВШГУ) и подготовлена на основе программ Корпоративного университета Сбербанка, Московской школы управления "Сколково", РАНХиГС и Высшей школы экономики.
В 1996-2005 гг. проходил службу в Вооруженных силах РФ.
С 2006 г. занимал различные должности в департаменте внешнеэкономических отношений Министерства экономического развития и торговли РФ.
В феврале - августе 2008 г. работал в департаменте международного сотрудничества Аппарата правительства РФ.
В 2008-2010 гг. был помощником министра регионального развития РФ Виктора Басаргина.
С 2010 г. - заместитель директора, в 2011-2013 гг. - директор департамента международных связей и развития приграничного сотрудничества Министерства регионального развития РФ.
В январе - марте 2013 г. - директор департамента координации государственных отраслевых программ Минрегиона РФ.
В марте 2013 г. перешел в Министерство экономического развития РФ, где занял должность помощника главы ведомства Андрея Белоусова. С июня того же года был помощником министра Алексея Улюкаева.
С сентября по декабрь 2013 г. - директор департамента обеспечения деятельности главы Минэкономразвития России.
В 2013-2014 гг. - директор департамента взаимодействия с органами Таможенного союза и экономического сотрудничества со странами СНГ Минэкономразвития.
19 ноября 2014 г. был назначен заместителем министра экономического развития РФ. Курировал вопросы стратегического и территориального планирования регионального развития, приграничного и международного межрегионального сотрудничества, социально-экономического развития арктических территорий, вопросы развития особых экономических зон и др.
28 сентября 2017 г. указом президента РФ назначен врио губернатора Ненецкого автономного округа (НАО). Во главе региона сменил Игоря Кошина.
В сентябре 2018 г. президент РФ внес в парламент НАО кандидатуры трех претендентов на пост главы округа, включая Александра Цыбульского (от "Единой России").
1октября 2018 г. депутаты заксобрания региона избрали Александра Цыбульского губернатором Ненецкого автономного округа (за - 12 человек из 15). В то де день он вступил в должность.
2 апреля 2020 г. указом главы государства был назначен врио губернатора Архангельской области. Сменил на посту Игоря Орлова.
13 сентября 2020 г. в ходе прямых выборов избран губернатором Архангельской области (баллотировался от партии "Единая Россия"). За него проголосовали 69,63% избирателей. Второе место заняла кандидат от "Справедливой России", депутат Архангельского облсовета Ирина Чиркова (16,92%). 8 октября 2020 г. Александр Цыбульский принял присягу.
Секретарь регионального отделения партии "Единая Россия" в Архангельской области.
Действительный государственный советник РФ II класса (2015).
Награжден медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени (2015).
Владеет английским, греческим и французским языками.