Родился 3 октября 1980 г. в г. Минске Белорусской ССР (ныне Республика Белоруссия). Его отец - Олег Федорович Чекунков, в 1998-2001 гг. был чрезвычайным и полномочным послом Белоруссии во Вьетнаме.
В 2001 г. Алексей Чекунков окончил факультет международных экономических отношений Московского государственного института международных отношений Министерства иностранных дел РФ.
В 2002-2003 гг. работал директором проектов в инвестиционной группе “Алроса”. Участвовал в проектах по объединению ряда золотодобывающих активов в Якутии.
В 2003-2006 гг. был специалистом, затем вице-президентом в инвестиционной компании Delta Private Equity, которая была подразделением инвестиционного фонда The US Russia Investment Fund. Данный фонд был создан правительством США для частных вложений в российскую экономику, существовал в 1995-2008 гг. Затем его функции перешли к Американо-российскому фонду по экономическому и правовому развитию, USRF (в 2015 г. включен в перечень иностранных и международных НКО, деятельность которых была признана в России нежелательной).
В 2006-2009 Гг. Алексей Чекунков являлся одним из основателей инвестиционной компании "Объединенная золотая компания" (ОЗК), входившей в консорциум "Альфа-Групп". Занимал должность управляющего директора "ОЗК".
С 2009 по 2011 г. руководил собственной инвестиционной компанией New Nations Capital (специализация - венчурные инвестиции, инвестиционно-банковские услуги).
В 2011-2013 гг. - директор, член правления и инвестиционного комитета в Российском фонде прямых инвестиций (РФПИ). Отвечал за инвестиции в здравоохранение, энергосбережение, сырьевой сектор, а также за создание Российско-китайского инвестиционного фонда с капиталом в 2 млрд долларов США.
С октября 2014 г. был генеральным директором АО "Фонд развития Дальнего Востока и Арктики", учрежденного в 2011 г. Внешэкономбанком (ныне ВЭБ.РФ) для ускоренного развития дальневосточного и байкальского регионов.
С 10 ноября 2020 г. - министр РФ по развитию Дальнего Востока и Арктики в правительстве Михаила Мишустина. За него проголосовали 327 депутатов, воздержались 39. Голосовавших против не было. Сменил во главе ведомства Александра Козлова.
Член совета директоров ПАО "РусГидро".
Входит в состав Правительственной комиссии по вопросам социально-экономического развития Дальнего Востока (с февраля 2015 г.).
Владеет английским и французским языками.