Родился 3 октября 1980 г. в г. Минске Белорусской ССР (ныне Республика Белоруссия). Его отец - Олег Федорович Чекунков, был замминистра внешних экономических связей Белоруссии (1997-1998), а затем чрезвычайным и полномочным послом этой страны во Вьетнаме (1998-2001).
В 2001 г. Алексей Чекунков окончил факультет международных экономических отношений Московского государственного института международных отношений Министерства иностранных дел РФ. Кроме того, прошел обучение в магистратуре Дальневосточного федерального университета по специальности "государственное и муниципальное управление".
В 2002-2003 гг. работал директором проектов в инвестиционной группе “Алроса”, принимал участие в объединении ряда золотодобывающих активов в Якутии.
В 2003-2006 гг. был специалистом, затем вице-президентом в инвестиционной компании Delta Private Equity.
В 2006-2009 гг. стал одним из основателей инвестиционной компании "Объединенная золотая компания" (ОЗК), входившей в консорциум "Альфа-групп". Занимал должность управляющего директора ОЗК.
С 2009 по 2011 г. руководил собственной инвестиционной компанией New Nations Capital (специализация - венчурные инвестиции, инвестиционно-банковские услуги).
В 2011-2013 гг. - директор, член правления и инвестиционного комитета в Российском фонде прямых инвестиций (РФПИ). Отвечал за инвестиции в здравоохранение, энергосбережение, сырьевой сектор, а также за создание Российско-китайского инвестиционного фонда.
С октября 2014 г. был генеральным директором АО "Фонд развития Дальнего Востока и Арктики", учрежденного в 2011 г. Внешэкономбанком (ныне ВЭБ.РФ) для ускоренного развития дальневосточного и байкальского регионов.
С 10 ноября 2020 г. - министр РФ по развитию Дальнего Востока и Арктики в правительстве Михаила Мишустина. За него проголосовали 327 депутатов, воздержались 39. Голосовавших против не было. Сменил во главе ведомства Александра Козлова. 14 мая 2024 г. переназначен на должность. В Госдуме его кандидатуру поддержали 428 депутатов, воздержался 1, голосовавших против не было.
Член совета директоров ПАО "РусГидро".
Входит в состав Правительственной комиссии по вопросам социально-экономического развития Дальнего Востока (с февраля 2015 г.).
Владеет английским и французским языками.