Родился 31 октября 1975 г. в Лозанне (Швейцария).
В 1980-х гг. занимался футболом в школе клуба "Ренан" из одноименного швейцарского города. Игровая позиция - полузащитник.
С 1995 по 2000 г. выступал за клуб "Лозанна" из одноименного швейцарского города. В 1998 и 1999 гг. в его составе выигрывал Кубок страны.
В 2000-2002 гг. Фабио Челестини представлял команду "Труа" из одноименного французского города. В 2001 г. вместе с ней выиграл еврокубковый турнир - Кубок Интертото (проводился в 1995-2008 гг.). В 2002-2004 гг. был игроком клуба "Олимпик" (Марсель, Франция).
В 2004-2005 гг. выступал за клуб "Леванте" (Валенсия, Испания), в 2005-2010 гг. - за клуб "Хетафе" из одноименного испанского города.
В 2010 г. вновь был игроком "Лозанны".
С 1998 по 2007 г. Фабио Челестини выступал за сборную Швейцарии. Принимал участие в чемпионате Европы 2004 г., состоявшемся в Португалии. В общей сложности провел за национальную команду 35 матчей, забил 2 мяча.
В 2011-2013 гг. Фабио Челестини работал спортивным директором клуба "Ренан".
В 2013-2014 гг. был ассистентом главного тренера в клубе "Малага" из одноименного испанского города.
В 2014-2015 гг. возглавлял команду "Террачина" из одноименного итальянского города.
С 2015 по 2018 г. был главным тренером "Лозанны".
В 2018-2019 гг. возглавлял клуб "Лугано" из одноименного швейцарского города, в 2020-2021 гг. - клуб "Люцерн" из одноименного швейцарского города. В 2021 г. привел "Люцерн" к победе в Кубке страны.
В 2022-2023 гг. тренировал клуб "Сьон" из одноименного швейцарского города.
С октября 2023 г. по июнь 2025 г. Фабио Челестини был главным тренером клуба "Базель" из одноименного швейцарского города. В 2025 г. привел его к победе в национальном чемпионате и Кубке Швейцарии.
С 20 июня 2025 г. - главный тренер московского ЦСКА. 12 июля 2025 г. клуб под его руководством победил "Краснодар" в матче за Суперкубок России.