Родился 6 июня 1955 г. в г. Фрунзе Киргизской ССР (ныне - Бишкек, Киргизская Республика). Школу окончил в п. Карца Пригородного района Северо-Осетинской АССР.
В 1977 г. окончил Чечено-Ингушский государственный университет им. Л. Н. Толстого (с 1995 г. - Чеченский государственный университет, ЧГУ), получив квалификацию преподавателя русского языка, ингушского языка и литературы. В 2004 г. получил второе высшее образование в ЧГУ по специальности "бухгалтерский учет и анализ хозяйственной деятельности в промышленности" с присвоением квалификации экономиста.
С 1977 г. два года работал школьным учителем в п. Карца, затем - директором школы.
Одновременно руководил боксерским клубом. Кандидат в мастера спорта по боксу.
С 1987 г. работал по контракту в Сирии, где преподавал русский язык.
В начале 1990-х гг. переехал в Москву. Занимался предпринимательством.
С 2004 г. был заместителем руководителя одного из департаментов Министерства труда и социального развития РФ.
В 2009 г. указом президента Ингушетии Юнус-Бека Евкурова был назначен на должность министра финансов и заместителя председателя правительства Республики Ингушетия.
10 марта 2010 г., после отставки главы правительства республики Алексея Воробьева, Муса Чилиев стал исполняющим обязанности председателя правительства.
С марта 2011 г. по сентябрь 2013 г. - председатель правительства Республики Ингушетия. Был утвержден в должности республиканским парламентом 21 марта 2011 г. (за - 20, против - один). 19 сентября 2013 г. на посту главы правительства его сменил Абубакар Мальсагов.
2 апреля 2017 г. Муса Чилиев был избран в Сунженский городской Совет народных депутатов I созыва по списку партии "Единая Россия". Входил в комиссию горсовета по экономике и финансам.
В 2018-2019 гг. - член Совета Федерации РФ от исполнительного органа власти Республики Ингушетия. 9 сентября 2018 г. был наделен полномочиями сенатора указом главы республики Юнус-Бека Евкурова. 8 сентября 2019 г. Мусу Чилиева в Совете Федерации сменил Мухарбек Барахоев, назначенный новым главой Ингушетии Махмуд-Али Калиматовым.
Согласно декларации за 2017 г., доходов не имел. Доход супруги за тот же период составил 59 млн 885 тыс. руб.
Сумма декларированного дохода за 2018 г. составила 1 млн 731 тыс. руб., супруги - 48 млн 500 тыс. руб.
Награжден медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени (2012).