Родился 9 октября 1978 г. в Москве.
В 2000 г. окончил Московскую государственную академию водного транспорта по специальности "юриспруденция", в 2003 г. - аспирантуру Академии труда и социальных отношений.
В 2005 г. получил степень магистра делового администрирования (MBA) в Российской экономической академии им. Г. В. Плеханова (Москва, ныне Российский экономический университет им Г. В. Плеханова). В 2021 г. прошел переподготовку в Российской академии народного хозяйства и государственной службы при президенте РФ с присвоением квалификации "руководитель цифровой трансформации".
Кандидат юридических наук. В 2009 г. в Академии труда и социальных отношений защитил диссертацию на тему "Правовое регулирование пенсионного обеспечения лиц, выехавших на постоянное жительство за границу".
В 1999-2000 гг. Сергей Чирков работал на различных должностях в Фонде социального страхования (ФСС) РФ.
В 2001 г. перешел на работу в Пенсионный фонд РФ (ПФР) на должность главного специалиста. В 2007-2012 гг. возглавлял департамент по вопросам пенсионного обеспечения лиц, проживающих за границей, в 2012-2018 гг. - департамент организации назначения и выплаты пенсий. С 11 июля 2018 г. по 30 июля 2022 г. - заместитель председателя правления ПФР (пост главы фонда в этот период занимали последовательно Антон Дроздов, Максим Топилин и Андрей Кигим).
14 июля 2022 г. президент РФ Владимир Путин подписал закон об объединении ПФР и ФСС в единый Фонд пенсионного и социального страхования (Социальный фонд). 30 июля премьер-министр РФ Михаил Мишустин подписал распоряжение об освобождении от должности главы ПФР Андрея Кигима. С 30 июля 2022 г. Сергей Чирков был врио председателя правления ПФР. 14 декабря премьер-министр РФ Михаил Мишустин своим распоряжением назначил Сергея Чиркова председателем Социального фонда. Организация начала работу 1 января 2023 г.
Награжден медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени (2016). Отмечен благодарностями президента РФ (2021) и правительства РФ (2010).