Родился 14 марта 1978 г. в г. Светогорске Выборгского района Ленинградской области. Родители работали на местном целлюлозно-бумажном комбинате.
В 2000 г. окончил факультет автоматизации Санкт-Петербургского государственного технологического университета растительных полимеров (ныне - Высшая школа технологии и энергетики в составе Санкт-Петербургского государственного университета промышленных технологий и дизайна).
С начала 2000-х гг. работал в Светогорске инженером на целлюлозно-бумажном комбинате (ныне входит в структуру компании ЗАО "Интернешнл пейпер").
Позднее был генеральным директором фирмы "Андритц", представительства одноименной австрийской инжиниринговой компании в Санкт-Петербурге.
В 2013 г. стал одним из учредителей Ассоциации специалистов бумажной отрасли (Санкт-Петербург).
С 2015 г. - один из инициаторов проведения конференции "ЦБП России – новые реалии, новые возможности", которая проводится ежегодно в Австрии.
В 2016 г. основал ООО "Тюменский лесопромышленный комплекс" (Тобольский район одноименной области, специализация - лесохозяйственная деятельность). Является его генеральным директором. До 2017 г. был единственным владельцем компании, затем в числе собственников значилось АО "Аф фрог" (Af frog, Финляндия), с июня 2017 г. - фирма "Тюмень инвест прайвет лимитед", зарегистрированная в Сингапуре.
С 2017 г. - генеральный директор ООО "Элоф Ханссон" (Санкт-Петербург), занимающегося оптовой торговлей лесо- и строительными материалами (дочерняя структура шведской целлюлозно-бумажной компании Elof Hansson).
По словам Александра Чухлебова, он является лидером общественного движения "Возрождение". В числе его инициатив - идея переноса столицы из Москвы в Санкт-Петербург, передача городам-миллионникам столичных полномочий. Чухлебов также выступает против программы реновации жилого фонда в Москве.
24 декабря 2017 г. инициативная группа в составе 540 человек выдвинула Александра Чухлебова кандидатом на президентских выборах 2018 г. 26 декабря 2017 г. предприниматель подал в Центризбирком РФ пакет документов, необходимых для выдвижения кандидатом на выборах президента России. 5 января 2018 г. Верховный суд РФ удовлетворил иск Центризбиркома об отмене регистрации группы избирателей, созданной в поддержку самовыдвижения Александра Чухлебова, из-за наличия у него вида на жительство в Финляндии.
Хобби: спорт и рыбалка.