Родился 12 июля 1965 г. в г. Липецке. Его отец - Анатолий Константинович Чуйченко (род. 1936), служил в органах Министерства охраны общественного порядка СССР, в 1978-1983 гг. был прокурором г. Всеволжска Ленинградской области, в 1985 г. был переведен в Северо-Западную транспортную прокуратуру, где проработал до 1996 г.
В 1987 г. Константин Чуйченко окончил юридический факультет Ленинградского государственного университета им. А. А. Жданова (ныне Санкт-Петербургский государственный университет), учился вместе с будущим президентом и премьер-министром РФ Дмитрием Медведевым. В 1992 г. завершил обучение в Краснознаменном институте Комитета государственной безопасности (КГБ) СССР им. Ю. В. Андропова (ныне Академия внешней разведки), проходил краткосрочную стажировку в Германии.
В 1987–1989 гг. – стажер, следователь прокуратуры Калининского района Ленинграда (ныне Санкт-Петербург).
В 1989 г. был призван на военную службу, которую проходил на офицерских должностях в КГБ СССР.
С 1992 по 1994 г. работал исполнительным директором акционерного общества "Интерюраудит де Фариа и Т".
В 1994–2001 гг. – адвокат первой юридической консультации московского отделения Международной коллегии адвокатов "Санкт-Петербург".
В 2001–2008 гг. – начальник юридического департамента концерна "Газпром". С июня 2002 г. по июнь 2008 г. - член правления "Газпрома" (председателем правления компании в этот период был Дмитрий Медведев), с 2003 по 2008 г. – председатель президиума третейского суда "Газпрома" (коммерческий арбитражный суд, занимающийся рассмотрением споров между участниками международных сделок).
В 2003–2004 гг. как представитель "Газпрома" занимал пост председателя совета директоров ОАО "Газпром-медиа", владевшего телеканалами НТВ, ТНТ, радиостанцией "Эхо Москвы" и др.
В 2004-2008 гг. - исполнительный директор компании RosUkrEnergo AG (Швейцария), созданной при участии Газпромбанка для организации продажи природного газа из России на Украине, в Восточной и Центральной Европе.
13 мая 2008 г. Константин Чуйченко перешел на работу в администрацию главы государства Дмитрия Медведева, где занял должность помощника президента РФ – начальника контрольного управления президента РФ. Сохранил свой пост после того, как в мае 2012 г. в должность главы государства вступил Владимир Путин.
С 18 мая 2018 г. по 21 января 2020 г. был заместителем председателя правительства РФ – руководителем Аппарата правительства РФ в кабинете Дмитрия Медведева. Сменил в должности Сергея Приходько. Константин Чуйченко курировал планирование работы правительства и исполнение решений кабмина, эффективность работы федеральных органов исполнительной власти, организацию законопроектной деятельности, вопросы госслужбы, работу межправительственных комиссий, госполитику в сфере СМИ и массовых коммуникаций. В сферу его компетенции также входили контроль деятельности правоохранительных органов и органов юстиции, взаимодействие с органами судебной власти и прокуратуры.
С 21 января 2020 г. - министр юстиции РФ в правительстве Михаила Мишустина (сменил в должности Александра Коновалова).
Член советов при президенте РФ по противодействию коррупции (с 2008 г., с 2010 г. - член президиума) и по делам казачества (с мая 2020 г.).
Председатель наблюдательного совета центра "Амурский тигр".
Был членом советов при президенте РФ по развитию информационного общества (2008–2012), по реализации приоритетных национальных проектов и демографической политике (с 2008 г., в 2008–2010 гг. входил в президиум), по развитию физической культуры и спорта (2008-2017 гг., в 2009-2012 гг. входил в президиум), по стратегическому развитию и национальным проектам (2018-2020, также входит в его президиум).
Был председателем Аттестационной комиссии правительства РФ (2018-2020), также в 2018-2020 гг. возглавлял правительственные комиссии по проведению административной реформы, по вопросам религиозных объединений, по развитию телерадиовещания.
Занимал пост председателя попечительского совета Фонда кино и наблюдательного совета Фонда защиты прав граждан - участников долевого строительства (2019-2020).
Действительный государственный советник РФ I класса (2008).
Действительный государственный советник юстиции (2020).
Награжден орденами "За заслуги перед Отечеством" III и IV степеней (2022, 2011), Почета (2006). Имеет благодарность президента РФ (2008).
Лауреат премии "Юрист года" за 2021 г.