Родился 4 сентября 1916 г. в Самаре в семье инженера-строителя.
В 1932 г. окончил фабричную школу при Самарском станкостроительном заводе, где получил специальность токаря 4-го разряда. В 1937 г. окончил с отличием Московский энергетический институт (МЭИ; ныне Национальный исследовательский университет "МЭИ"), специальность по образованию - инженер-теплотехник.
В 1943 г. в МЭИ защитил диссертацию кандидата технических наук, а в 1953 г. там же - докторскую диссертацию на тему "Исследование калорических свойств воды и водяного пара высоких параметров". В 1964 г. избран членом-корреспондентом, в 1974 г. - академиком Академии наук (АН) СССР (ныне - Российская академия наук, РАН).
В 1937-1939 гг. работал инженером на московском закрытом заводе Министерства судостроительной промышленности СССР. В 1939 г. поступил в аспирантуру МЭИ. Одновременно работал в лаборатории по исследованию свойств водяного пара высоких давлений и температур Энергетического института АН СССР (ЭНИН; ныне - Энергетический институт им. Г.М. Кржижановского).
После начала Великой Отечественной войны записался в армию добровольцем и в июле 1941 г. был зачислен в мотострелковый полк бригады особого назначения, которая охраняла различные объекты в Москве. В феврале 1942 г. получил направление и стал преподавать в Ленинградской военно-воздушной академии (ныне - Военно-космическая академия им. А.Ф. Можайского), которая находилась в эвакуации в Йошкар-Оле. В декабре 1945 г. демобилизовался из армии в звании инженер-капитана.
С 1946 г. - преподаватель Московского энергетического института, с 1955 г. - профессор, с 2010 г. - почетный доктор МЭИ.
В 1954 г. совместно с профессором Владимиром Кириллиным (впоследствии стал академиком) организовал в МЭИ кафедру инженерной теплофизики. В 1960 г. на базе кафедры была создана Лаборатория высоких температур (ЛВТ) АН СССР, ее директором был назначен Кириллин, а заместителем директора лаборатории стал Александр Шейндлин.
В 1962 г. распоряжением Совета министров СССР на базе ЛВТ АН СССР был организован Научно-исследовательский институт высоких температур (НИИ ВТ) МЭИ и Александр Шейндлин назначен его директором. В 1967 г. НИИ ВТ МЭИ был переведен из системы Министерства высшего и среднего специального образования СССР в ведение Академии наук и переименован в Институт высоких температур АН СССР (ИВТАН; ныне - Объединенный институт высоких температур РАН, ОИВТ РАН). Александр Шейндлин возглавлял ИВТАН до 1987 г. Затем был почетным директором ОИВТ РАН.
В 1967 г. основал кафедру высокотемпературных процессов и установок (ныне - кафедра физики высокотемпературных процессов) в Московском физико-техническом институте (МФТИ; ныне имеет статус технического университета) и более 20 лет преподавал на ней.
На протяжении многих лет был заместителем академика-секретаря Отделения физико-технических проблем энергетики АН СССР, председателем секции МГД (магнитогидродинамического) преобразования энергии Научного совета АН СССР, главным редактором журнала "Теплофизика высоких температур" (сегодня входит в состав редколлегии этого издания РАН). Являлся членом Отделения энергетики, машиностроения, механики и процессов управления РАН.
Скончался 13 января 2017 г. в Москве. Похоронен в селе Черноречье Волжского района Самарской обл.
Александр Ефимович Шейндлин был известен как специалист в области термодинамики, теплотехники, альтернативной энергетики и др. Под его руководством были созданы первые в мире экспериментальная модельная МГД-установка У-02 (1964) и опытно-промышленная установка У-25 (1971) для преобразования тепловой энергии в электрическую. Разработана концепция технического перевооружения энергетического хозяйства Московского региона (2005) и принципиальные положения стратегии развития электроэнергетики России на период до 2030 г. (2008-2009). Ученый являлся одним из инициаторов создания специальности "инженерная теплофизика", среди его учеников - более 50 кандидатов и 30 докторов наук.
В 1986 г. за заслуги в развитии науки, подготовки научных кадров и в связи с 70-летием Александру Шейндлину было присвоено звание Героя Социалистического труда (с вручением ордена Ленина и медали "Серп и Молот"). Лауреат Ленинской (1959; за цикл работ в области термодинамики и теплотехники) и Государственной премий СССР (1976), премии правительства РФ 2011 г. в области науки и техники ("за разработку и внедрение эффективных технологий использования возобновляемых и нетрадиционных источников энергии в малой энергетике").
Награжден двумя орденами Ленина (1975, 1986), двумя орденами Трудового Красного Знамени (1967, 1971), орденами Отечественной войны II степени (1985) и "За заслуги перед Отечеством" II и III степеней (2006, 1985), медалью "За оборону Москвы" (1945).
Отмечен премией им. И.И. Ползунова АН СССР (1963), международной премией "Глобальная энергия" (2004; за фундаментальные исследования теплофизических свойств веществ при предельно высоких температурах для энергетики), медалью Фарадея (1983; за работы в области МГД - преобразования энергии).
Являлся почетным членом Венгерской академии наук (1979), членом Европейской академии наук и искусства (1978), Академии наук Боснии и Герцеговины (1984), действительным членом Международной энергетической академии (1995), почетным доктором Политехнического института г. Тампере (1982, Финляндия), Технологического университета г. Эндховена (1986, Нидерланды), Университета им. Бен-Гуриона (1991, Израиль).
Автор более 250 научных трудов в области энергетики. Среди них монографии "Основы экспериментальной термодинамики" (1950), "Термодинамика растворов" (1956), "Тяжелая вода" (1963), "Техническая термодинамика" (1974), "Новая энергетика" (1987), "Проблемы новой энергетики" (2006), "Алюмоводородная энергетика" (2007), учебник для вузов "Техническая термодинамика" (в соавторстве), книга "Воспоминания старого академика" (2001).