Родился 19 марта 1930 г. в г. Кузнецке Сибирского края (ныне г. Новокузнецк Кемеровской обл.) в многодетной семье. Отец - Тимофей Ильич Штоколов - во второй половине 1930-х гг. возглавлял отделение Общества содействия обороне, авиационному и химическому строительству (ОСОАВИАХИМ) в пос. Кузедеево (ныне - на территории Новокузнецкого района Кемеровской обл.). В 1938 г. по ложному доносу был исключен из компартии, в 1939 г. восстановлен. В 1942 г. пропал без вести в боях под Ленинградом.
В годы войны Борис Штоколов жил в Свердловске (ныне Екатеринбург). Там прошел прослушивания и был принят в Киевскую детскую капеллу, которая находилась в городе в эвакуации, однако из-за болезни не смог посещать занятия.
В 1944 г. он поступил в школу юнг Северного флота на Соловецких островах (пос. Савватиево, Архангельская обл.), учился по специальности "торпедный электрик". После окончания школы был направлен на Балтийский флот. Затем вернулся в Свердловск, где был зачислен курсантом в спецшколу Военно-воздушных сил.
В 1949 г. Борис Штоколов принял участие в концерте по случаю выпуска из спецшколы, на котором в качестве почетного гостя присутствовал Маршал Советского Союза Георгий Жуков. По настоянию последнего Штоколов был зачислен на вокальный факультет Уральской консерватории им. М. П. Мусоргского.
В 1950 г. устроился рабочим сцены в Свердловский театр оперы и балета им. А. В. Луначарского (ныне Екатеринбургский государственный академический театр оперы и балета).
В 1950–1951 гг. - солист Свердловской филармонии. В 1951 г. был принят стажером в Свердловский театр оперы и балета им. А. В. Луначарского. В 1954 г., после окончания консерватории, стал одним из его солистов. Исполнял партии Якопо Фиеско в опере Джузеппе Верди "Симон Бокканегра", Кардинала в "Орлеанской деве" Петра Чайковского, Мельника в "Русалке" Александра Даргомыжского и др.
В 1953 г. вышла первая грампластинка с записями русских народных песен в исполнении Бориса Штоколова ("Ноченька", "Не велят Маше за реченьку ходить").
В 1958 г. ему было присвоено звание заслуженного артиста РСФСР.
В 1959 г. он стал лауреатом международного конкурса VII Всемирного фестиваля молодежи и студентов в Вене (Австрия).
В том же году Борис Штоколов был приглашен в Ленинградский театр оперы и балета им. С. М. Кирова (ныне Мариинский театр), в котором проработал до 1990 г. На его сцене он исполнил партии в более чем 45 русских, советских и зарубежных операх - практически весь репертуар для баса. Благодаря своему голосу получил известность как "советский Шаляпин".
Наиболее выдающиеся работы Бориса Штоколова относятся к классическому русскому оперному репертуару. Среди них - "Борис Годунов" и "Хованщина" Модеста Мусоргского, "Князь Игорь" Александра Бородина, "Евгений Онегин" и "Мазепа" Петра Чайковского, "Демон" Антона Рубинштейна, "Садко" Николая Римского-Корсакова, "Руслан и Людмила" и "Иван Сусанин" Михаила Глинки и др. Был также исполнителем партии Мефистофеля в опере "Фауст" Шарля Гуно, Дона Базилио в "Севильском цирюльнике" Джоаккино Россини.
Борис Штоколов известен также как исполнитель русских народных песен и романсов, самые популярные в его репертуаре - "Утро туманное", "Хризантемы", "Ямщик, не гони лошадей", "Гори, гори, моя звезда", "Живет моя отрада" и др. Он много гастролировал в США, Испании, Италии, Франции, Германии, Австрии, Кубе, Канаде и др.
В последние годы жизни занимался преподавательской деятельностью. Был профессором кафедры сольного пения факультета музыки Российского государственного педагогического университета им. А. И. Герцена (Санкт-Петербург).
Автор книги "Гори, гори, моя звезда. Как надо петь" (1995). Принимал участие в съемках документальных картин "Поет Борис Штоколов" (1967), "Имени Василия Андреева" (1982), "И каждый вечер в час назначенный..." (1983). Снимался также в музыкальных фильмах "Город и песня" (реж. Леонид Менакер, 1968), "Музыкальные игры" (Виталий Аксенов, 1989).
Скончался 6 января 2005 г. в Санкт-Петербурге. Похоронен на Волковском кладбище, на территории некрополя "Литераторские мостки".
Народный артист РСФСР (1962). Народный артист СССР (1966).
Лауреат Государственной премии РСФСР им. М. И. Глинки (1976), Государственной премии СССР (1981).
Был награжден орденами Ленина (1980), Октябрьской Революции (1983), двумя орденами Трудового Красного Знамени, орденом Отечественной войны 2-й степени (1985), медалью Ушакова (1992).
В 2002 г. ему было присвоено звание "Почетный гражданин Кемеровской области".
Почетный академик Славянской и Петровской академий.
Был женат. Первая супруга - Надежда Петровна (1929–1990), сыновья Александр (род. 1954) и Тимофей (род. 1962). Второй женой певца в 2002 г. стала Нина Сергеевна Штоколова.
С 2008 г. в Санкт-Петербурге проводится Международный конкурс вокалистов им. Б. Т. Штоколова.
Имя певца носит Государственная филармония Кузбасса (г. Кемерово). Мемориальная доска в честь Бориса Штоколова установлена в 2019 г. в Санкт-Петербурге на д. 2 по ул. Гаврской, где певец жил в 2001-2005 гг.