Родился 2 ноября 1902 г. в гор. Юхнове (Смоленская губерния Российской империи, ныне на территории Калужской области РФ) в семье банковского служащего.
В 1909-1916 гг. посещал занятия в Ольховском реальном училище (Москва), в 1916-1919 гг. - в Московском среднем Комиссаровском техническом училище.
В 1919 г. Михаил Яншин был принят в Высшее техническое училище (ныне Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана). Однако вскоре оставил его и ушел добровольцем в Рабоче-крестьянскую Красную армию. Служил в войсках внутренней охраны Республики в Москве и Петрограде (ныне Санкт-Петербург), участвовал в подавлении Тамбовского восстания 1920-1921 гг. (повстанческое крестьянское движение под фактическим руководством Александра Антонова, развернувшееся в ответ на осуществление большевиками продовольственной диктатуры, продразверстки и др.).
Работа в театре
В 1922-1924 гг. Михаил Яншин был артистом 2-й студии Московского художественного академического театра (сочетала в себе функции учебного заведения и профессионального театра).
С 1924 по 1976 г. служил в Московском художественном академическом театре СССР им. М. Горького. Был задействован в более чем 30 спектаклях. В их числе: "Ревизор" по комедии Николая Гоголя, "Дни Турбиных" по пьесе Михаила Булгакова, "Три толстяка" по произведению Юрия Олеши, "Фронт" по пьесе Александра Корнейчука, "Русские люди" по произведению Константина Симонова, "Три сестры", "Дядя Ваня" и "Вишневый сад" по пьесам Антона Чехова, "На всякого мудреца довольно простоты" по комедии Александра Островского, "Соло для часов с боем" по произведению Освальда Заградника. В 1957 г. поставил на сцене МХАТа спектакль "Дворянское гнездо" по роману Ивана Тургенева.
В 1934-1939 гг. руководил Московским театром лесной промышленности.
В 1937-1941 гг. Михаил Яншин был художественным руководителем столичного цыганского театра "Ромэн". При нем репертуар был пополнен инсценировками произведений русской и зарубежной классики, а спектакли начали играть на русском языке, что способствовало увеличению зрительской аудитории. Среди осуществленных им постановок: "Цыганы" по произведению Александра Пушкина, "Макар Чудра" по рассказу Максима Горького, "Кровавая свадьба" и "Чудесная башмачница" по пьесам Федерико Гарсиа Лорки.
С 1950 по 1963 г. Михаил Яншин являлся главным режиссером Московского драматического театра им. К. С. Станиславского (ныне Электротеатр "Станиславский"). Поставил в нем спектакли "Грибоедов" по драме Сергея Ермолинского, "Чайка" по пьесе Антона Чехова, "Бесприданница" по произведению Александра Островского, "Здравствуй, Катя!" по комедии Михаила Львовского, "Такая любовь" по пьесе Павла Когоута и др.
Работа в кино
Михаил Яншин дебютировал в кино в 1928 г., исполнив роль телеграфиста в исторической драме "Каторга" (режиссеры Юлий Райзман и Александр Файнциммер). Среди его наиболее известных киноработ: Андрей Нюнин в комедии "Свадьба" по мотивам произведений Антона Чехова (1944, Исидор Анненский), попечитель богоугодных заведений Артемий Филиппович Земляника в экранизации произведения Николая Гоголя "Ревизор" (1952, Владимир Петров), сэр Тоби Белч в комедии "Двенадцатая ночь" по пьесе Уильяма Шекспира (1955, Ян Фрид), профессор Виктор Иванович Волосюк в фильме "Большая перемена" по повести Георгия Садовникова "Иду к людям" (1972-1973, Алексей Коренев). В общей сложности актер снялся в более чем 30 кинокартинах.
Михаил Яншин принимал участие в озвучивании нескольких десятков мультипликационных фильмов. В их числе: "Сказка о солдате" (1948, Валентина и Зинаида Брумберг), "Ночь перед Рождеством" (1951, Валентина и Зинаида Брумберг), "Дюймовочка" (1964, Леонид Амальрик), "Вовка в Тридевятом царстве" (1965, Борис Степанцев), "Козленок, который считал до десяти" (1968, Владимир Дегтярев).
Звания, награды
Народный артист СССР (1955).
Михаил Яншин был награжден орденами "Знак Почета" (1937), Ленина (1948, 1972), Трудового Красного Знамени (1971).
Лауреат Государственной премии РСФСР им. К. С. Станиславского 1970 г., Государственной премии СССР в области литературы, искусства и архитектуры 1975 г.
Кончина
Михаил Яншин скончался 17 июля 1976 г. в Москве на 74-м году жизни. Похоронен на столичном Новодевичьем кладбище.
Личные сведения
Был трижды женат. Первая супруга (в 1926-1933 г.) - актриса Вероника Полонская (1908-1994). Вторая жена (в 1934-1942 гг.) - актриса театра "Ромэн" Надежда Киселева (творческий псевдоним Ляля Черная; 1909-1982). Третьей супругой с 1955 г. была актриса Нонна Мейер (1922-2017).
Память
В 1984 г. был издан сборник "Михаил Яншин. Статьи, воспоминания, письма" (составитель Ирина Виноградская).
В центре гор. Юхнова установлен бюст Михаила Яншина. В Москве на доме по адресу 1-я Тверская-Ямская ул., 28, где жил актер, размещена памятная доска.