Родился 18 июня 1919 г. в Таллине (Эстония). По материнской линии имел русское происхождение, но воспитывался в приемной эстонской семье и плохо владел русским языком. В школьные годы принимал участие в театральной самодеятельности.
В 1937-1941 гг. работал посыльным на фабрике. В 1938 г. сменил имя и фамилию на эстонские - Юри Ярвет.
С 1942 г. выступал в танцевальной группе "Государственных ансамблей Эстонии", эвакуированных в Ярославль. В 1944 г. вернулся в Эстонию.
В 1949 г. окончил в Таллине Эстонский театральный институт.
В 1949-1950 гг. - актер и главный режиссер Южно-Эстонского театра (г. Выру), в 1950-1951 гг. - внештатный сотрудник Эстонского радио. В 1951-1952 гг. являлся консультантом Театрального общества Эстонской ССР.
В 1952-1965 и 1970-1992 гг. Юри Ярвет был актером Эстонского драматического театра (до 1989 г. - Эстонский государственный академический театр драмы им. В. Кингисеппа) в Таллине. Исполнял роли в спектаклях: "Женитьба Бальзаминова" по пьесе Александра Островского, "Маскарад" по драме Михаила Лермонтова, "Живой труп" и "Плоды просвещения" по пьесам Льва Толстого, "Дом, где разбиваются сердца" по произведению Бернарда Шоу, "Пер Гюнт" по пьесе Генрика Ибсена, "Фауст" по драме Иоганна Вольфганга Гете, "Три сестры" по пьесе Антона Чехова, "Записки сумасшедшего" по повести Николая Гоголя, "Гамлет" по трагедии Уильяма Шекспира.
В 1965-1967 гг. служил в Молодежном театре Эстонской ССР (ныне - Таллинский городской театр).
Юри Ярвет был широко известен в качестве киноактера. Дебютной для него стала роль Роберта в драме "Счастье Андруса" по роману Ганса Леберехта "Капитаны" (1955, режиссер Герберт Раппапорт). Среди наиболее известных работ: профессор О’Рейли в политическом детективе "Мертвый сезон" (1968, Савва Кулиш), король Лир в экранизации одноименного произведения Уильяма Шекспира (1970, Григорий Козинцев), кибернетик Снаут в научно-фантастической ленте "Солярис" по роману Станислава Лема (1972, Андрей Тарковский), профессор Вольф в историческом фильме "Михайло Ломоносов" (1986, Александр Прошкин). Последняя роль - Антон в кинокартине "Тьма в Таллине" (1993, Илкка Ярви-Латури). В общей сложности Юри Ярвет снялся в более чем 50 фильмах. В большинстве случаев его роли дублировали русскоязычные актеры.
В 1984-1989 гг. Юри Ярвет был депутатом Верховного Совета СССР XI созыва. Во второй половине 1980-х гг. также являлся председателем правления Театрального общества Эстонской ССР.
Юри Ярвет скончался 5 июля 1995 г. в Таллине на 77-м году жизни. Похоронен на таллинском кладбище Метсакальмисту.
Народный артист СССР (1975).
Был награжден орденами Трудового Красного Знамени (1971) и Дружбы народов (1979). Лауреат Государственной премии СССР в области литературы, искусства и архитектуры (1981, за роль в фильме "Берега").
Был дважды женат. Первая супруга - актриса Инна Таарна. От брака с ней - сын Юри Ярвет - младший (род. 1958, актер). Второй супругой была врач-онколог Астрид Пууранди. От брака с ней - дочь Яна (род. 1960).