Родился 15 июля 1979 г. в Москве.
В 2001 г. окончил Военный университет Министерства обороны РФ, в 2006 г. - Московский институт международного бизнеса при Всероссийской академии внешней торговли Министерства экономического развития РФ. В 2014 г. получил диплом Российской академии народного хозяйства и государственной службы при президенте РФ по программе "Мастер делового администрирования". Прошел обучение на первом потоке программы подготовки кадрового управленческого резерва государственной службы, которая была запущена в июне 2017 г. на базе Высшей школы государственного управления.
В 1996-2005 гг. проходил службу в Вооруженных силах РФ.
С 2006 г. занимал различные должности в департаменте внешнеэкономических отношений Министерства экономического развития и торговли РФ, главой которого являлся Герман Греф (ныне возглавляет Сбербанк России), а с сентября 2007 г. - Эльвира Набиуллина (в настоящее время - председатель Центробанка РФ).
В феврале - августе 2008 г. работал в Департаменте международного сотрудничества Аппарата правительства РФ.
В 2008-2010 гг. был помощником министра регионального развития РФ Виктора Басаргина.
С 2010 г. - заместитель директора, в 2011-2013 гг. - директор департамента международных связей и развития приграничного сотрудничества Министерства регионального развития РФ.
В январе - марте 2013 г. - директор департамента координации государственных отраслевых программ Министерства регионального развития РФ.
В марте 2013 г. перешел в Министерство экономического развития РФ, где занял должность помощника главы ведомства Андрея Белоусова. С июня того же года был помощником нового министра Алексея Улюкаева.
С сентября по декабрь 2013 г. - директор департамента обеспечения деятельности главы Министерства экономического развития РФ.
В 2013-2014 гг. - директор департамента взаимодействия с органами Таможенного союза и экономического сотрудничества со странами СНГ Минэкономразвития.
19 ноября 2014 г. был назначен заместителем министра экономического развития РФ Алексея Улюкаева. Сохранил свой пост после ареста министра и его отставки в связи с утратой доверия президента РФ. С 30 ноября 2016 г. занимал должность заместителя главы Минэкономразвития РФ Максима Орешкина. Курировал вопросы стратегического и территориального планирования регионального развития, приграничного и международного межрегионального сотрудничества, социально-экономического развития арктических территорий, вопросы развития особых экономических зон, территорий опережающего социально-экономического развития, моногородов, закрытых административных территорий и др.
Входил в советы директоров АО "Особая экономическая зона "Иннополис", АО "Особая экономическая зона промышленно-производственного типа "Алабуга" и др.
В 2015 г. возглавил попечительский совет Благотворительного фонда культурных и социально значимых инициатив им. Святого праведного воина Федора Ушакова.
28 сентября 2017 г. указом президента РФ Владимира Путина был назначен временно исполняющим обязанности губернатора Ненецкого автономного округа (НАО). В тот же день освобожден от должности замминистра экономического развития РФ. На посту главы региона сменил Игоря Кошина.
В сентябре 2018 г. президент РФ внес на рассмотрение Собрания депутатов НАО три кандидатуры на пост главы округа: в список вошли Александр Цыбульский (был выдвинут от "Единой России") и члены регионального парламента Андрей Ружников (партия "Родина") и Андрей Смыченков (ЛДПР).
1 октября 2018 г. региональный парламент избрал Александра Цыбульского губернатором Ненецкого автономного округа. За него проголосовали 12 из 15 присутствующих на заседании депутатов. В тот же день состоялась инаугурации губернатора.
2 апреля 2020 г. указом президента РФ Александр Цыбульский был назначен врио губернатора Архангельской области. Сменил на посту Игоря Орлова, который подал в отставку по собственному желанию.
В единый день голосования 13 сентября 2020 г. избран губернатором Архангельской области. За него проголосовали 69,63% избирателей (баллотировался от партии "Единая Россия"). Второе место заняла кандидат от "Справедливой России", депутат Архангельского облсовета Ирина Чиркова, с результатом 16,92%. 8 октября 2020 г. Александр Цыбульский официально вступил в должность.
С 3 декабря 2021 г. - исполняющий полномочия секретаря регионального отделения партии "Единая Россия" в Архангельской области. Член президиума политсовета местного отделения партии.
Действительный государственный советник РФ II класса (2015).
Награжден медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени (2015).
Владеет английским, греческим и французским языками.