Родился 25 июня 1928 г. в Москве в семье патологоанатомов Алексея Ивановича Абрикосова (1875-1955) и Фани Давидовны Вульф (1895-1965). Принадлежал к роду русских купцов, фабрикантов Абрикосовых, основателей одного из старейших кондитерских предприятий России (ныне - концерн "Бабаевский"). Отец заведовал кафедрой патологической анатомии Второго Московского государственного, провел первое бальзамирование тела Владимира Ленина (Ульянова), впоследствии стал членом Академии наук и Академии медицинских наук СССР. Мать работала ассистенткой кафедры патологической анатомии Первого Московского мединститута, прозектором Кремлевской больницы.
В 1948 г. Алексей Абрикосов окончил физический факультет Московского государственного университета (МГУ им. М. В. Ломоносова).
В 1951 г. в Институте физических проблем им. И.С. Вавилова АН СССР (ныне - Институт физических проблем им. П. Л. Капицы РАН) защитил диссертацию кандидата физико-математических наук на тему "Термическая диффузия в полностью и частично ионизированных плазмах", в 1955 г. там же - диссертацию доктора физико-математических наук по квантовой электродинамике высоких энергий. В 1964 г. был избран членом-корреспондентом, в 1987 г. - академиком Академии наук СССР (ныне - Российская академия наук, РАН).
После окончания МГУ до 1965 г. работал в Институте физических проблем им. И. С. Вавилова АН СССР.
В 1965-1986 гг. - заведующий отделом Института теоретической физики АН СССР (с 1968 г. носит имя академика Льва Ландау; ныне - Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН).
Алексей Абрикосов был учеником физиков Льва Ландау и Петра Капицы.
Одновременно с работой в научном институте вел преподавательскую деятельность. В 1966-1969 гг. был профессором МГУ. В 1970-1972 гг. преподавал в Горьковском государственном университете (ныне - Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского). В 1972-1976 гг. заведовал кафедрой теоретической физики в Московском физико-техническом институте (МФТИ), в 1976-1991 гг. - кафедрой теоретической физики в Московском институте стали и сплавов (ныне - Национальный исследовательский технологический университет "МИСиС").
В 1991 г. Алексей Абрикосов эмигрировал в США, приняв приглашение Аргоннской национальной лаборатории (Argonne National Laboratory) в штате Иллинойс. В 1999 г. получил американское гражданство.
Работая в Аргоннской национальной лаборатории, ученый смог объяснить большинство свойств высокотемпературных сверхпроводников на основе купрата. В 1998 г. он установил новый эффект линейного квантового магнитного сопротивления, который был впервые измерен в 1928 г. физиком Петром Капицей, но никогда не рассматривался в качестве самостоятельного эффекта.
В США Алексей Абрикосов преподавал в Иллинойском университете (University of Illinois) в Чикаго и Университете штата Юта (Utah State University), в Великобритании - в Университете Лафборо (Loughborough University).
Занимался исследованием сверхпроводимости, теорией твердого тела и квантовой жидкости, астрофизикой, статистической физикой, физикой плазмы, квантовой электродинамикой. В 1954-1956 гг. Абрикосов рассчитал функции Грина и эффективные сечения различных процессов при больших энергиях в квантовой электродинамике. В 1957 г. построил теорию магнитных свойств сверхпроводящих сплавов и ввел представление о двух критических полях и "смешанном" состоянии с вихревой структурой токов ("вихри Абрикосова"). В 1960 г. совместно с физиком-теоретиком Львом Горьковым разработал теорию сверхпроводников с магнитными примесями и предсказал явление бесщелевой сверхпроводимости. В 1970-1974 гг. построил теорию бесщелевых полупроводников, в 1976-1977 г. развил общий подход для изучения проводимости квазиодномерных систем и ввел понятие о параметре делокализации.
29 марта 2017 г. скончался в США на 89-м году жизни.
Алексей Абрикосов совместно с российским физиком Виталием Гинзбургом и американским - Энтони Леггеттом получил в 2003 г. Нобелевскую премию по физике за "основополагающие работы по теории сверхпроводников и сверхтекучих жидкостей".
Лауреат Ленинской премии (1966), Государственной премии СССР (1982). Награжден орденами "Знак Почета" (1975), Трудового Красного Знамени (1988).
Отмечен премиями Ф. Лондона (1972), им. Ландау (1989), им. Джона Бардина (1991).
Являлся членом Национальной академии наук США (2000), Королевского научного общества (2001) и Американской Академии наук и искусств (1991), иностранным членом Лондонского королевского научного общества (2001), почетным доктором Университета Лозанны (1975).
Входил в редколлегии журналов "Теоретическая и математическая физика", "Обзоры по высокотемпературной сверхпроводимости".
Автор трудов "Современное состояние проблемы сверхпроводимости" (1965), "Магнитные примеси в немагнитных металлах" (1969), "Резонансное туннелирование в высокотемпературных сверхпроводниках" (1998), "Сверхпроводники второго рода и вихревая решетка" (2004), соавтор работ "Современная теория сверхпроводимости" (1958), "Современная монография по физике твердого тела" (1974) и др. На основе его лекций в МГУ, МФТИ и МИСиС издано учебное руководство "Основы теории металлов" (1988).
Был женат, супруга - Светлана Бунькова. Имел двух сыновей и дочь.