Родился 25 июня 1946 г. в Вене (Австрия). Его отец был танцовщиком Ансамбля песни и пляски Советской армии (ныне Академический ансамбль песни и пляски Российской армии им. А. В. Александрова).
В детстве Борис Акимов увлекался фигурным катанием, в 11 лет стал чемпионом Москвы в своем возрасте в парном и одиночном разрядах. Также учился в музыкальной школе по классу баяна.
В 1965 г. окончил Московское академическое хореографическое училище (ныне Московская государственная академия хореографии), где его педагогами были Елена Сергиевская и Марис Лиепа. В 1978 г. завершил обучение на балетмейстерском факультете Государственного института театрального искусства им. А. В. Луначарского (ныне Российский институт театрального искусства - ГИТИС).
В 1965 г. Борис Акимов был принят в балетную труппу Государственного академического Большого театра (ГАБТ). Совершенствовал мастерство под руководством народного артиста СССР Алексея Ермолаева. Выступал на сцене ГАБТ до 1989 г., исполнил несколько десятков партий. В их числе: Ильяс в "Асели" Владимира Власова, Иванушка в "Коньке-Горбунке" Родиона Щедрина, Красс в "Спартаке" и Нерсо в "Гаянэ" Арама Хачатуряна, Принц в "Лебедином озере" Петра Чайковского, Клеон в "Икаре" Сергея Слонимского, Сергей в "Ангаре" Андрея Эшпая, Ганс в "Жизели" Адольфа Адана.
В 1980-1988 гг. преподавал в ГИТИСе на кафедре хореографии.
С 1989 г. Борис Акимов является педагогом-балетмейстером Большого театра. В разное время в этом же качестве сотрудничал с театрами "Ковент Гарден" (Лондон, Великобритания) и "Ла Скала" (Милан, Италия), Венской государственной оперой (Австрия), Баварской государственной оперой (Мюнхен, Германия) и др.
В 2000-2003 гг. Борис Акимов являлся художественным руководителем балетной труппы Большого театра.
В 2001-2005 гг. был профессором кафедры мужского классического и дуэтно-классического танца Московской государственной академии хореографии. В 2001-2002 гг. - исполняющий обязанности ректора академии, в 2002-2005 гг. - ее художественный руководитель.
С 2014 г. Борис Акимов является художественным руководителем Московского хореографического училища при Московском государственном академическом театре танца "Гжель".
Народный артист СССР (1989).
Награжден орденами "Знак Почета" (1980), Почета (2001), Дружбы (2005), Восходящего солнца III степени (Япония, 2016).
Лауреат Государственной премии СССР в области литературы, искусства и архитектуры (1977), премии Ленинского комсомола (1978).
Лауреат Международного конкурса артистов балета в Варне (Болгария, 1965).
Был женат на заслуженной артистке РСФСР балерине и педагоге Татьяне Попко (1939-2008).