Родился 4 августа 1905 г. в Бологом (Новгородская губерния Российской империи, ныне Тверская область РФ). Его отец - народный артист СССР Александр Васильевич Александров (1883-1946) - был композитором и дирижером, автором музыки Гимна Советского Союза и положенного на ту же мелодию Гимна Российской Федерации, организатором Ансамбля песни и пляски Советской армии (ныне Академический ансамбль песни и пляски Российской армии им. А. В. Александрова). Мать - хористка Ксения Павловна Морозова.
С семи лет Борис Александров пел в хоре в г. Твери, которым руководил его отец. Также посещал занятия в музыкальной школе по классу фортепиано.
В 1918 г. вместе с семьей переехал в Москву. Пел в детском хоре Большого театра (ныне Государственный академический Большой театр России) и в хоре храма Христа Спасителя. Также продолжал заниматься игрой на фортепиано.
В 1929 г. Борис Александров окончил Московскую консерваторию (ныне Московская государственная консерватория им. П. И. Чайковского) по классу композиции профессора Рейнгольда Глиэра.
В 1930-1937 гг. был дирижером и заведующим музыкальной частью Центрального театра Красной армии (ныне Центральный академический театр Российской армии). В 1933-1941 гг. преподавал в Московской консерватории. Доцент (1939), доктор искусствоведения (1940).
C 1937 г. Борис Александров являлся заместителем своего отца, руководившего Ансамблем красноармейской песни и пляски. Был как дирижером, так и композитором. После начала Великой Отечественной войны коллектив был разделен на четыре самостоятельных концертных бригады. Борис Александров управлял группой, оставшейся в Москве и дававшей концерты уходящим на фронт частям и выступавшей на радио. В 1942 г. организовал Ансамбль советской песни Всесоюзного радио (руководил им до 1946 г.). В мае 1943 г. был призван в ряды Вооруженных сил с присвоением воинского звания майора и назначен на должность замначальника ансамбля. В июне того же года возглавил концертную бригаду, выезжавшую с гастролями на фронт.
В 1946 г., после смерти отца, Борис Александров стал начальником и художественным руководителем Ансамбля песни и пляски Советской армии. Под его руководством коллектив значительно расширил репертуар, посетил с гастролями многие города СССР и более 20 зарубежных стран. В 1973 г. ему было присвоено воинское звание генерал-майора. Возглавлял ансамбль до 1986 г., после чего вышел в отставку.
Борис Александров был автором двух симфоний, трех кантат, балетов "Дружба юных" (1954) и "Левша" (1955), камерно-инструментальных и вокально-симфонических произведений, сочинений для духового оркестра и оркестра народных инструментов.
Также написал десять оперетт. Наибольшую известность получила "Свадьба в Малиновке" (в 1937 г. была поставлена в Московском театре оперетты, в 1967 г. вышла одноименная музыкальная кинокомедия режиссера Андрея Тутышкина).
Борис Александров написал музыку для более ста песен, большинство из них - военно-патриотической направленности. В их числе: "Да здравствует наша держава!" (слова Александра Шилова), "Советская армия - Красная армия" (слова Евгения Долматовского), "Шли солдаты" (слова Андрея Досталя), "Герб Советской страны" (слова Роберта Рождественского), "Служу Советскому Союзу" (слова Бориса Дубровина). Также осуществил обработку около ста народных песен разных стран.
Борис Александров скончался 17 июня 1994 г. в Москве на 89-м году жизни. Похоронен на столичном Новодевичьем кладбище.
Герой Социалистического Труда (1975).
Народный артист СССР (1958).
Был награжден орденами Ленина (1949, 1967, 1975), Трудового Красного Знамени (1964), Октябрьской революции (1985), Отечественной войны II степени (1985), медалями.
Лауреат Сталинской премии I степени (1950), Ленинской премии (1978), Государственной премии РСФСР им. М. И. Глинки (1985).
Автор книги "Песня зовет" (1982).
Был женат на Ольге Михайловне Александровой (1905-1999). Сын, Олег, работал музыкантом в Ансамбле песни и пляски Советской армии.