Родился 7 февраля 1950 г. в Ленинграде (ныне - Санкт-Петербург).
В 1974 г. окончил Ленинградскую (ныне Санкт-Петербургскую) государственную консерваторию им. Н. А. Римского-Корсакова как пианист (класс профессора Людмилы Уманской), в 1977 г. - как режиссер музыкального театра (класс доцента Маргариты Слуцкой). Дипломный спектакль - "Дон Паскуале" Гаэтано Доницетти в Государственном театре оперы и балета Белорусской ССР (ныне Большой театр Белоруссии).
С 1978 г. по н. в. Юрий Александров в качестве режиссера-постановщика сотрудничает с Государственным академическим Мариинским театром. Среди его оперных спектаклей: "Колокольчик" и "Дон Паскуале" Гаэтано Доницетти, "История Кая и Герды" Сергея Баневича, "Дон Жуан" и "Свадьба Фигаро" Вольфганга Амадея Моцарта, "Мавра" Игоря Стравинского, "Мазепа" Петра Чайковского, "Семен Котко" Сергея Прокофьева, "Аида", "Дон Карлос" и "Отелло" Джузеппе Верди, "Нос" Дмитрия Шостаковича.
В 1987 г. Юрий Александров основал в Ленинграде Камерный музыкальный театр (в настоящее время - Камерный музыкальный театр "Санктъ-Петербургъ Опера") и возглавил его в качестве художественного руководителя. Поставил в нем спектакли: "Человеческий голос" Франсиса Пуленка, "Верую" Валерия Пигузова, "Борис Годунов" Модеста Мусоргского, "Прекрасная Елена" Жака Оффенбаха, "Песнь о любви и смерти корнета Кристофа Рильке" Зигфрида Маттуса, "Травиата" Джузеппе Верди, "Поругание Лукреции" Бенджамина Бриттена, "Не только любовь" Родиона Щедрина, "Сельская честь" Пьетро Масканьи.
В 2004 г. по инициативе Юрия Александрова была создана Ассоциация музыкальных театров России, которую артист возглавлял до 2014 г.
В 2011-2020 гг. являлся художественным руководителем и главным режиссером оперы Музыкального театра Республики Карелия (г. Петрозаводск). Среди его постановок: "Евгений Онегин" и "Пиковая дама" Петра Чайковского, "Кармен" Жоржа Бизе, "Мадам Баттерфляй" Джакомо Пуччини, "Севильский цирюльник" Джоаккино Россини, "Любовный напиток" Гаэтано Доницетти и оперетта Имре Кальмана "Мистер Икс".
В общей сложности Юрий Александров поставил более 250 спектаклей в оперных театрах России и зарубежных государств (в Белоруссии, Италии, Казахстане, Литве, Сербии, США, Турции). Они шли на престижных мировых сценах, в т. ч. в театрах "Ла Скала" (Милан, Италия) и "Метрополитен-Опера" (Нью-Йорк, США).
Является художественным руководителем Международного конкурса юных арфистов "Хрустальный ключ" (с 2012 г.) и Международного фестиваля камерной оперы (с 2016 г.).
Заслуженный деятель искусств РФ (1997). Народный артист РФ (2008).
Награжден орденами Дружбы (2003), Почета (2019), "За заслуги в культуре и искусстве" (2025). Отмечен Почетной грамотой президента РФ (2016).
Удостоен премии Правительства РФ в области культуры 2024 г. за постановку в Санкт-Петербургском театре музыкальной комедии мюзикла "Петр I" Фрэнка Уайлдхорна.
Лауреат российской театральной премии "Золотая маска" в категориях "Лучшая работа режиссера в опере" (2000, "Семен Котко") и "За выдающийся вклад в развитие театрального искусства" (2024).
Женат. Супруга - главный режиссер Камерного музыкального театра "Санктъ-Петербургъ Опера" Татьяна Карпачева. Дочь - арфистка Государственного академического Мариинского театра Елизавета Александрова.