Родился 21 сентября 1929 г. в Красноярске.
Настоящее имя Иосиф Ефимович Алешковский.
Детство провел с семьей в Москве. После начала Великой Отечественной войны вместе с матерью и младшим братом был эвакуирован в Омск.
В конце 1940-х гг. был призван в Советскую армию, служил в ВМФ. Являясь военнослужащим, в г. Советская Гавань (Хабаровский край) совершил угон автомобиля. В 1950-1953 гг. отбывал наказание в исправительно-трудовой колонии. После освобождения работал землекопом, затем - шофером аварийной службы "Мосводопровода".
В 1959 г. Юз Алешковский сочинил "Песню о Сталине" ("Товарищ Сталин, вы большой ученый..."), которая обрела известность в студенческих и диссидентских кругах в годы "оттепели". Одним из ее исполнителей был Владимир Высоцкий.
В 1960-1970-х гг. работал как детский писатель. В 1964 г. выпустил сборник рассказов "Два билета на электричку", в 1967 г. - книгу повестей и рассказов "Черно-бурая лиса". В 1970 г. опубликовал повесть "Кыш, Двапортфеля и целая неделя", в 1975 г. - повесть "Кыш и я в Крыму".
Участвовал в работе над сценариями фильмов Бориса Дурова "Вот моя деревня" (1972), "Аварийное положение" (1973), "Происшествие" (1974), Эдуарда Гаврилова "Кыш и Двапортфеля" (1974), Владимира Саруханова "Что с тобой происходит?" (1975).
В 1979 г. вместе с Фазилем Искандером, Виктором Ерофеевым, Василием Аксеновым и др. стал одним из авторов неподцензурного альманаха "Метрополь". В нем были опубликованы тексты трех "лагерных" песен Алешковского.
С 1980 г. Юз Алешковский проживал в эмиграции в США. В том же году в американском издательстве Ardis ("Ардис") была опубликована его повесть "Николай Николаевич" (созд. 1970), написанная от лица бывшего заключенного, после освобождения работающего в биологическом институте.
Среди других произведений, напечатанных в США: романы "Рука" (изд. 1980), "Карусель" (1983), "Кенгуру" (1985), повесть "Синенький скромный платочек" (1982).
В 1991 г. стал одним из создателей неформального творческого объединения "Багажъ" (в него также входили Белла Ахмадулина, Резо Габриадзе, Андрей Битов, Михаил Жванецкий).
В первой половине 1990-х гг. произведения Юза Алешковского, написанные в эмиграции, начали выходить в России отдельными изданиями.
В 2009 г. выпустил роман "Предпоследняя жизнь. Записки везунчика", в 2010 г. - произведение "Маленький тюремный роман", в 2012 г. - сборник "Книжка трех моих муз".
В 2020 г. вышла книга стихов и песен Юза Алешковского "Свиданки с музой".
Сочинения автора переведены на английский, болгарский, немецкий и французский языки.
Юз Алешковский являлся членом Русского ПЕН-центра - организации, объединяющей поэтов, писателей и журналистов, которые работают в различных литературных жанрах.
В 1995 г. записал музыкальный диск с собственными песнями "Окурочек" (продюсером выступил Андрей Макаревич, в 2022 г. признанный в РФ иноагентом).
21 марта 2022 г. стало известно, что Юз Алешковский скончался в г. Тампа (шт. Флорида, США) на 93-м году жизни.