Родился 1 июня 1999 г. в г. Ухте (Республика Коми) в семье Сергея Васильевича Алиева и Елены Петровны Назаренко. Его отец является директором спортшколы №1 г. Ухты. Мать - преподаватель физической культуры.
В детстве Дмитрий Алиев параллельно занимался лыжными гонками и фигурным катанием (его тренером по этому виду спорта в ухтинской спортшколе №1 была Лидия Родионова).
В январе 2012 г. на спортивно-развлекательном празднике "Зимняя Ыбица" (c. Ыб Сыктывдинского района Республики Коми) на выступление Дмитрия Алиева обратил внимание олимпийский чемпион 2006 г. по фигурному катанию Максим Маринин. Он организовал Алиеву просмотр в Санкт-Петербурге у заслуженного тренера России Алексея Мишина.
В 2013 г. Дмитрий Алиев переехал в Санкт-Петербург, где начал заниматься в Спортивной школе олимпийского резерва по фигурному катанию под руководством тренера Евгения Рукавицына. Его хореографическую подготовку ведут Ольга Глинка и Валентин Молотов.
В декабре 2014 г. в Сочи (Краснодарский край) Дмитрий Алиев дебютировал на взрослом чемпионате России по фигурному катанию, занял десятое место.
В январе 2015 г. в Дорнбирне (Австрия) стал бронзовым медалистом Европейского юношеского олимпийского фестиваля. В том же году в августе (Рига, Латвия) и сентябре (Линц, Австрия) одержал победы на этапах юниорской серии Гран-при. В декабре 2015 г. в Барселоне (Испания) занял второе место в финале юниорской серии Гран-при.
В январе 2016 г. в Челябинске Дмитрий Алиев выиграл юниорское первенство России. В феврале того же года в Хамаре (Норвегия) стал бронзовым призером II зимних юношеских Олимпийских игр (большая часть соревнований проводилась в норвежском Лиллехаммере). В декабре 2016 г. в Марселе (Франция) одержал победу в финале юниорской серии Гран-при.
В феврале 2017 г. в Санкт-Петербурге Дмитрий Алиев во второй раз в карьере выиграл юниорское первенство России. В марте того же года в Тайбэе (Тайвань, КНР) стал серебряным медалистом юниорского чемпионата мира. В декабре 2017 г. в Санкт-Петербурге занял третье место на взрослом чемпионате России.
В январе 2018 г. в Москве Дмитрий Алиев стал серебряным призером чемпионата Европы. В феврале того же года занял седьмое место на XXIII зимних Олимпийских играх в Пхёнчхане (Республика Корея). В марте 2018 г. в Милане (Италия) показал аналогичный результат на чемпионате мира.
В сентябре 2019 г. в Братиславе (Словакия) занял первое место на Мемориале Ондрея Непелы. В декабре того же года в Красноярске выиграл чемпионат России.
Дмитрий Алиев занимает четвертое место в рейтинге Международного союза конькобежцев сезона 2019/2020 гг.
Мастер спорта международного класса (2018).
Среди увлечений Дмитрия Алиева - сочинение стихов.